Esercizio Limiti dell'appello
Avete idea di come risolvere il PRIMO ESERCIZIO(quello sui limiti) di questo appello:
http://www.dm.uniba.it/~pomponio/A.A._2 ... -02-02.pdf
e di quest'altro?
http://www.dm.uniba.it/~pomponio/A.A._2 ... -11-27.pdf
Io non riesco a venirne a capo nè di uno nè dell'altro. Dovrei risolverli senza Hopital nè Taylor.
Per cortesia aiutatemi perchè l'esame è alle porte
http://www.dm.uniba.it/~pomponio/A.A._2 ... -02-02.pdf
e di quest'altro?
http://www.dm.uniba.it/~pomponio/A.A._2 ... -11-27.pdf
Io non riesco a venirne a capo nè di uno nè dell'altro. Dovrei risolverli senza Hopital nè Taylor.
Per cortesia aiutatemi perchè l'esame è alle porte
Risposte
Io un'idea ce l'ho, ma prima voglio vedere le tue idee: se arrivi alle porte dell'esame senza averne nemmeno una, campa cavallo 
Io non riesco ad andare avanti, è da stamattina che sto provando a ricondurmi a limiti notevoli ma non ce la faccio.
Nel primo esercizio sfruttando le proprietà del logaritmi ho trovato che il primo membro tende a 0, ma non riesco a a calcolare il limite di quegli esponenziali, ho provato a raccoglierli a fattore comune ma nulla, ottengo semrpe forme indeterminate.
Nel secondo esercizio ho provato col cambio di variabile ma anche qui mi blocco. Già quel log(cos x) non saprei proprio come fare a ricondurlo a un limite notevole.
Per favore dammi una mano, non ti sto chiedendo la pappa pronta, io la buona volontà ce la sto mettendo, ma non riesco proprio a venirne a capo.
Nel primo esercizio sfruttando le proprietà del logaritmi ho trovato che il primo membro tende a 0, ma non riesco a a calcolare il limite di quegli esponenziali, ho provato a raccoglierli a fattore comune ma nulla, ottengo semrpe forme indeterminate.
Nel secondo esercizio ho provato col cambio di variabile ma anche qui mi blocco. Già quel log(cos x) non saprei proprio come fare a ricondurlo a un limite notevole.
Per favore dammi una mano, non ti sto chiedendo la pappa pronta, io la buona volontà ce la sto mettendo, ma non riesco proprio a venirne a capo.
Perché non puoi usare Taylor o Hopital?
Taylor, perchè il prof lo ha spiegato ma non ha fatto neache un esercizio in classe, quindi credo che questi esercizi d'esame siano da risolvere con Taylor.
L'Hopital, perchè - se possibile - vorrei evitarlo.
L'Hopital, perchè - se possibile - vorrei evitarlo.
Scrivi l'inizio della tua risoluzione, così si può capire meglio che strada hai deciso di imboccare 
"Espimas":
Taylor, perchè il prof lo ha spiegato ma non ha fatto neache un esercizio in classe, quindi credo che questi esercizi d'esame siano da risolvere con Taylor.
L'Hopital, perchè - se possibile - vorrei evitarlo.
Questa frase è priva di senso: Taylor e Hopital sono due strumenti essenziali che semplificano enormemente la vita dello studente! Molto meglio se li studi e poi li usi per aiutarti!
Io la posto ma son sicuro che nn sia quella giusta:
$ (log ((x^2+2x)/(1+x^2))*((e^(3x)-e^(x^2))/e))/(e^x-1) = log ((1+2/x)/(1+1/x^2))*(e^(3x)-e^(x^2))/(e*(e^x-1)) $
Ora il logaritmo tende a 0, ma quella espressione con gli esponenziali come la risolvo? Sono sicuro di aver imboccato la strada sbagliata.
Per il secondo esercizio ho provato con il cambio di variabile y=1/x, ottendendo per y che tende a 0:
$ (log (1+(cosy-1))/(cosy-1)* (cosy-1) * log (1+1/y)) / ((e^(1/y)-1)((e^(y^2)-1)/y^2)*y^2) $
Ma, a parte quei limiti notevoli che son riuscito a far spuntare, rimane una forma indeterminata del tipo 0/0
$ (log ((x^2+2x)/(1+x^2))*((e^(3x)-e^(x^2))/e))/(e^x-1) = log ((1+2/x)/(1+1/x^2))*(e^(3x)-e^(x^2))/(e*(e^x-1)) $
Ora il logaritmo tende a 0, ma quella espressione con gli esponenziali come la risolvo? Sono sicuro di aver imboccato la strada sbagliata.
Per il secondo esercizio ho provato con il cambio di variabile y=1/x, ottendendo per y che tende a 0:
$ (log (1+(cosy-1))/(cosy-1)* (cosy-1) * log (1+1/y)) / ((e^(1/y)-1)((e^(y^2)-1)/y^2)*y^2) $
Ma, a parte quei limiti notevoli che son riuscito a far spuntare, rimane una forma indeterminata del tipo 0/0
"Raptorista":
Questa frase è priva di senso: Taylor e Hopital sono due strumenti essenziali che semplificano enormemente la vita dello studente! Molto meglio se li studi e poi li usi per aiutarti!
Ma non è possibile risolvere gli esercizi senza l'utilizzo di questi strumenti? Io preferirei farlo senza, perchè sai come spesso alcuni prof si inalberino perchè l'esercizio non è svolto "come vogliono loro" (non so se è il caso di questo prof in particolare, perchè è la prima volta che mi accingo a sostenere questo esame).
Allora fai così per il primo: il logaritmo riscrivilo come $log(\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{2x}{1+x^2})$, in questo modo vedi che l'argomento è del tipo $1+\varepsilon$, quindi possiamo approssimare $log(1+\varepsilon)\approx\varepsilon$;
Per gli esponenziali, prima sostituisci $e^x-1 \approx e^x$, poi applica le proprietà delle potenze e vedi che la frazione si riduce a $e^{2x-1}-e^{x^2-x-1}$. Facendo poi il confronto asintotico per capire quale termine predomina vedi che $\lim_{x \to +oo} \frac{e^{2x-1}-e^{x^2-x-1}}{e^{x^2-x-1}} \to -1$, quindi $e^{2x-1}-e^{x^2-x-1} \approx -e^{x^2-x-1}$. Ora però devi andare avanti tu!
Il secondo non l'ho ancora guardato.
Per gli esponenziali, prima sostituisci $e^x-1 \approx e^x$, poi applica le proprietà delle potenze e vedi che la frazione si riduce a $e^{2x-1}-e^{x^2-x-1}$. Facendo poi il confronto asintotico per capire quale termine predomina vedi che $\lim_{x \to +oo} \frac{e^{2x-1}-e^{x^2-x-1}}{e^{x^2-x-1}} \to -1$, quindi $e^{2x-1}-e^{x^2-x-1} \approx -e^{x^2-x-1}$. Ora però devi andare avanti tu!
Il secondo non l'ho ancora guardato.
Per il secondo non conviene fare il cambio di variabile. Invece, puoi sfruttare i seguenti asintotici:
$ cos(\epsilon) approx 1 - \epsilon^2 / 2 $
E successivamente puoi sfruttare il fatto che:
$ log(1 + \epsilon) approx epsilon $
Per cui, in definitiva, hai:
$ log(cos(\epsilon)) approx log(1 - \epsilon^2 / 2) approx - \epsilon^2 / 2 $
Poi, ovviamente, hai che $log(x+1) approx log(x)$ e $e^x-1 approx e^x$ se $x -> +infty$.
Infine c'è un altro limite notevole: $e^\epsilon - 1 approx \epsilon $
$ cos(\epsilon) approx 1 - \epsilon^2 / 2 $
E successivamente puoi sfruttare il fatto che:
$ log(1 + \epsilon) approx epsilon $
Per cui, in definitiva, hai:
$ log(cos(\epsilon)) approx log(1 - \epsilon^2 / 2) approx - \epsilon^2 / 2 $
Poi, ovviamente, hai che $log(x+1) approx log(x)$ e $e^x-1 approx e^x$ se $x -> +infty$.
Infine c'è un altro limite notevole: $e^\epsilon - 1 approx \epsilon $
Grazie mille, siete stati chiarissimi. Io comunque da solo non ci sarei mai arrivato da solo e speravo che la soluzione fosse più semplice 
.
Sarebbe effettivamente molto più facile da risolvere con Taylor o è comunque abbastanza complicato?
.Sarebbe effettivamente molto più facile da risolvere con Taylor o è comunque abbastanza complicato?
Beh Taylor è solo più preciso dei limiti notevoli. Ti consiglio di fare tanti esercizi con i limiti notevoli, poi li vedi un po' ovunque xD A me succede così. E' impressionante xD
Sì farò come dite, però ad esempio approssimare cosx a $ 1-x^2/2$ io non l'ho mai visto fare dal prof in classe, così come fare i confronti asintotici come suggeritomi da raptorista. Ecco perchè non ci avrei mai e poi mai pensato a risolvere questi esercizi in questo modo.
Sono davvero pessimista per l'esame. Comunque sia vi ringrazio per il vostro prezioso aiuto
Sono davvero pessimista per l'esame. Comunque sia vi ringrazio per il vostro prezioso aiuto
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