Esercizio limite in due variabili

[Bach05]

Salve, vorrei un consiglio su come procedere per calcolare questo limite:

$lim_(x,y->0,0) ((senxy)^2)/(3x^2+2y^2)$

[gio73]

tu cosa hai provato?

[Bach05]

"gio73":tu cosa hai provato?

Ho provato a fare una restrizione, quindi ho posto $y=x$ quindi il limite diventa:
$lim_(x->0)(senx^2)^2/(5x^2)=0$
Quindi ho pensato di applicare la definizione per verificarlo. Per stimare la funzione ho quindi deciso di utilizzare le coordinate polari:

$|sin^2(p^2cosasena)|/|3p^2cos^2(a)+2p^2sen(a)| = |sin^2(p^2cosasena)|/|p^2(cos^2a+2)| <= 1/(2p^2)$

Che tende a infinito se p tende a 0.

Quindi apparentemente il limite non esiste... ma non dovrebbe essere così.

[cooper1]

non sono proprio un campione con i limiti in due variabili ma io farei così:
ricordando che $|sin(xy)| <= |xy|$
quindi
$lim_((x,y)->(0,0))(sin^2(xy))/(2x^2+3y^2) <= lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(2x^2+3y^2) <= lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(2x^2) = 0$
spero di non aver scritto cavolate.

[Bach05]

Interessante... potrebbe funzionare. Grazie!
Anche se vorrei capire dove sbaglio io...

[dissonance]

"cooper":non sono proprio un campione con i limiti in due variabili ma io farei così:
ricordando che $|sin(xy)| <= |xy|$
quindi
$lim_((x,y)->(0,0))(sin^2(xy))/(2x^2+3y^2) <= lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(2x^2+3y^2) <= lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(2x^2) = 0$
spero di non aver scritto cavolate.

Questa scrittura non mi piace molto. Non sai se i limiti esistano, quindi non puoi scrivere delle disuguaglianze con essi. Inoltre ti manca una stima dal basso per applicare il teorema dei carabinieri; si, è una stima ovvia, ma la devi scrivere.

In ogni caso l'idea è correttissima. Riscrivo lo svolgimento:
\[
0\le \frac{\sin^2(xy)}{2x^2+3y^2} \le \frac{y^2}{2}\]
e quindi per il teorema dei carabinieri
\[
\lim_{(x, y)\to(0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{2x^2+3y^2}=0.\]

[cooper1]

"dissonance": si, è una stima ovvia, ma la devi scrivere.

si avevo implicitamente considerato il modulo e non ho pensato di esplicitare la stima dal basso
per la scrittura invece grazie della precisazione! in futuro ci starò sicuramente attento adesso