Esercizio limite di successione

[dattolico_007]

Salve ragazzi,
mi si chiede di calcolare il seguente limite:
$lim_(n->+oo) ((2n+1)/(2n-5))^(n/3)$
Dato che non riuscivo a trovare una risoluzione "banale" ho proceduto con i simboli di Landau. In particolare ho rivisto $2n+1$ come $2n+6-5$ e quindi la frazione diventa $1+6/(2n-5)$. Adatto l'esponente così $n/3=2*n/6=(2n+5-5)/6 = (2n-5)/6 +5/6$ da cui il limite diventa:
$lim_(n->+oo) (1+(6/(2n-5)))^((2n-5)/6 +5/6)$ . Utilizzando l'o-piccolo trovo che $lim_(n->+oo) (e+o(1))^(5/6)$. Il risultato non dovrebbe essere $e^(5/6)$ ? Perché WolframAlpha mi dice $e$ ? Cosa sbaglio?
Vi ringrazio in anticipo

[pilloeffe]

Ciao paolo1712,

"paolo1712":Dato che non riuscivo a trovare una risoluzione "banale" ho proceduto con i simboli di Landau.

Eviterei...
Procedendo come avevi già iniziato a fare, sfrutterei il limite notevole $lim_{f(n) \to +\infty} (1 + 1/(f(n)))^{f(n)} = e $, sicché si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} ((2n+1)/(2n-5))^(n/3) = \lim_{n \to +\infty} (1 + 6/(2n-5))^(n/3) = \lim_{n \to +\infty} (1 + 1/((2n-5)/6))^(n/3) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/((2n-5)/6))^((2n-5)/6)]^{(6n)/(3(2n - 5))} = e $

[dattolico_007]

"pilloeffe":Ciao paolo1712,
[quote="paolo1712"]Dato che non riuscivo a trovare una risoluzione "banale" ho proceduto con i simboli di Landau.

Eviterei...
Procedendo come avevi già iniziato a fare, sfrutterei il limite notevole $lim_{f(n) \to +\infty} (1 + 1/(f(n)))^{f(n)} = e $, sicché si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} ((2n+1)/(2n-5))^(n/3) = \lim_{n \to +\infty} (1 + 6/(2n-5))^(n/3) = \lim_{n \to +\infty} (1 + 1/((2n-5)/6))^(n/3) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/((2n-5)/6))^((2n-5)/6)]^{(6n)/(3(2n - 5))} = e $[/quote]
Però i simboli di Landau sono utili ai fini dell'esame quindi mi servirebbe un attimo capire perché il $5/6$ "non influenza" il limite.
Comunque ti ringrazio. A posteriori ho notato che potevo risolverlo anche con teorema del prodotto tra limiti di successioni trovando $e*1=e$. Però ecco volevo un attimo capire Landau

[Mephlip]

@paolo1712: Mi sembra che tu abbia fatto un errore di conto pensando la somma delle potenze $\frac{6}{2n-5}+\frac{5}{6}$ come una potenza di potenze. Infatti, è $(1+\frac{6}{2n-5})^{5/6} \to 1$ per $n\to+\infty$ e quindi scrivendo:
$$\left(1+\frac{6}{2n-5}\right)^{\frac{2n-5}{6}+\frac{5}{6}}=\left(1+\frac{6}{2n-5}\right)^{\frac{2n-5}{6}}\cdot \left(1+\frac{6}{2n-5}\right)^{\frac{5}{6}}$$
Il fattore con esponente $5/6$ non è collegato alla parte che hai approssimato con $e+\text{o}(1)$. Se hai ancora dubbi, potresti scrivere i calcoli che hai fatto per favore?

[dattolico_007]

"Mephlip":@paolo1712: Mi sembra che tu abbia fatto un errore di conto pensando la somma delle potenze $\frac{6}{2n-5}+\frac{5}{6}$ come una potenza di potenze. Infatti, è $(1+\frac{6}{2n-5})^{5/6} \to 1$ per $n\to+\infty$ e quindi scrivendo:
$$\left(1+\frac{6}{2n-5}\right)^{\frac{2n-5}{6}+\frac{5}{6}}=\left(1+\frac{6}{2n-5}\right)^{\frac{2n-5}{6}}\cdot \left(1+\frac{6}{2n-5}\right)^{\frac{5}{6}}$$
Il fattore con esponente $5/6$ non è collegato alla parte che hai approssimato con $e+\text{o}(1)$. Se hai ancora dubbi, potresti scrivere i calcoli che hai fatto per favore?

Si hai ragione ho confuso $(2n-5)/6 + 5/6$ con $(2n-5)/6 *5/6$ . Quindi in realtà dovrebbe venir fuori $(e+o(1))(1+6/(2n-5))^(5/6)$.
Vi ringrazio entrambi