Esercizio limite di successione
Ciao a tutti qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questo limite?
$lim_(n_->oo) (nlog(1+2/n))^n*(1/2)^n$
Mi risulta sempre una forma indeterminata e non so quali passaggi eseguire per risolverlo!
$lim_(n_->oo) (nlog(1+2/n))^n*(1/2)^n$
Mi risulta sempre una forma indeterminata e non so quali passaggi eseguire per risolverlo!
Risposte
Suggerimento: applica prima una proprietà delle potenze, e poi una dei logaritmi. Viene fuori un limite notevole.
Ho già applicato queste proprietà,ma non sono comunque riuscita a risolvere l'esercizio:
$lim_(n->oo) (1/2log(1+2/n)^n)^n$
L'argomento del logaritmo tende ad $e^2$,quindi l'intera parentesi tende ad $1^n$ che è una forma indeterminata!
$lim_(n->oo) (1/2log(1+2/n)^n)^n$
L'argomento del logaritmo tende ad $e^2$,quindi l'intera parentesi tende ad $1^n$ che è una forma indeterminata!
Con uno sviluppo di Taylor al secondo ordine ci si riduce a qualcosa di noto:
$ [n/2log(1+2/n)]^n=[n/2(2/n-2/n^2+o(1/n^2))]^n=[1-1/n+o(1/n)]^n $
$ [n/2log(1+2/n)]^n=[n/2(2/n-2/n^2+o(1/n^2))]^n=[1-1/n+o(1/n)]^n $
Non c'è un altro modo a parte ricorrere a Taylor?
Nota: ci sarebbe il limite notevole che e' esattamente il limite proposto dentro la parentesi a patto di prendere x=2/n
$ lim_(nrarr0)(log_a(1+x))/x=1/(lna) $
poi pero' se il log e' quello naturale come viene da supporre per abitudine allora viene la forma di indecisione, mentre se invece il logaritmo e' in base 10 il limite si risolve ed ha un risultato diverso!
$ lim_(nrarr0)(log_a(1+x))/x=1/(lna) $
poi pero' se il log e' quello naturale come viene da supporre per abitudine allora viene la forma di indecisione, mentre se invece il logaritmo e' in base 10 il limite si risolve ed ha un risultato diverso!
Purtroppo è il logaritmo in base e!
Io veramente avrei scritto il termine nel limite così:
$$\log\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n/2}\rightarrow \log e=1,\qquad n\to+\infty$$
usando il limite notevole $\lim_{n\to+\infty}(1+1/{a_n})^{a_n}=e$ se $\lim_{n\to+\infty} a_n=\infty$
$$\log\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n/2}\rightarrow \log e=1,\qquad n\to+\infty$$
usando il limite notevole $\lim_{n\to+\infty}(1+1/{a_n})^{a_n}=e$ se $\lim_{n\to+\infty} a_n=\infty$
Sì ma anche scrivendolo così,poi tutto il logaritmo è elevato alla n,quindi avrei comunque la forma indeterminata $1^oo$ !
Temo che senza uno sviluppo al secondo ordine del logaritmo (o, comunque, all'uso di una procedura equivalente) non se ne esca, dal momento che ti serve sapere che
\[
\frac{\log(1+2/n)}{(2/n)} - 1 \sim -\frac{1}{n}\qquad \text{per}\ n\to +\infty.
\]
\[
\frac{\log(1+2/n)}{(2/n)} - 1 \sim -\frac{1}{n}\qquad \text{per}\ n\to +\infty.
\]
Okok in realtà quello che ho scritto non era altro che il termine generale di una serie di cui dovevo studiare il carattere e pensavo che se avessi dimostrato che non è verificata la condizione necessaria per la convergenza e cioè,che quel limite è diverso da zero,avrei potuto dire che la serie non converge.Tuttavia a questo punto penso ci sia un modo più conveniente di studiare la serie in questione,senza quindi risolvere questo limite?
Di solito il criterio necessario del termine generale che tende a 0 per $ nrarr+oo $ e' il primo passo nello studio delle serie. Non capisco perche' in questo caso tu debba cercare un altra maniera per dimostrare che la serie non converga: il metodo del limite con lo sviluppo di Taylor e' usato abitualmente in questi casi ed e' rapido, tanto che nel precedente messaggio ho risolto il limite in una riga in 3 passaggi. Essendo in questo caso il limite pari a $ e^-1 $ e la serie a termini positivi concludo che essa diverge!
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