Esercizio limite di successione

[f.serafini93]

Buongiorno,
ho un esercizio d'esame che non riesco a capire come mai torna questa soluzione.
L'esercizio è $\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{e^{-n}(2n!)}{(n!) (n!)}$
Dai calcoli mi risulta che il risultato è $0$ dato che al denominatore c'è un $n!n!e^(n)$ e sopra solo un $2n!$, mentre dalle soluzioni del professore risulta che il limite fa $+\infty$
$(2n!)/(n!n!)$ è il binomio di newton, ossia \begin{pmatrix}
2n\\
n
\end{pmatrix}
Che ho riscritto in un altra forma.
Mi sapreste dire perchè risulta così? Grazie in anticipo,

[Andrea571]

"Serafini":Buongiorno,
ho un esercizio d'esame che non riesco a capire come mai torna questa soluzione.
L'esercizio è $\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{e^{-n}(2n!)}{(n!) (n!)}$
Dai calcoli mi risulta che il risultato è $0$ dato che al denominatore c'è un $n!n!e^(n)$ e sopra solo un $2n!$, mentre dalle soluzioni del professore risulta che il limite fa $+\infty$
$(2n!)/(n!n!)$ è il binomio di newton, ossia \begin{pmatrix}
2n\\
n
\end{pmatrix}
Che ho riscritto in un altra forma.
Mi sapreste dire perchè risulta così? Grazie in anticipo,

Per far uscire $\infty$ al numeratore deve esserci $(2n)!$, e non $(2n!)$, ma forse questo è un tuo errore di battitura..

P.S. Non l'ho risolta da solo, ho usato Wolfram Alpha, volevo farti notare che c'è una bella differenza tra quei due valori

[f.serafini93]

Si scusami ho sbagliato io a scrivere è $(2n)!$ il punto è che non capisco come mai viene fuori $+\infty$?? grazie per la spiegazione

[Andrea571]

"Serafini":Si scusami ho sbagliato io a scrivere è $(2n)!$ il punto è che non capisco come mai viene fuori $+\infty$?? grazie per la spiegazione

Credo si possa risolvere tramite l'approssimazione di Stirling:

$lim_(x->+oo)((e^(-n)(2n)!)/((n!)^2))$= $lim_(x->+oo)(e^(-n)(sqrt(4\pin)*(2n/e)^(2n)))/(2\pin*(n/e)^(2n))$=$lim_(x->+oo)(e^(-n)((2n/e)^(2n)))/(sqrt(\pin)*(n/e)^(2n))$=$lim_(x->+oo)(e^(-n)4^n)/(sqrt(\pin))$=


$lim_(x->+oo)(4^n)/(e^nsqrt(\pin))$= $+\infty$ (Perché al numeratore abbiamo qualcosa che va a infinito più velocemente del denominatore)

(Qualcuno controlli, è possibile che abbia fatto errori madornali )

Se ti interessa, la "approssimazione di Stirling" è la seguente:

$n! =sqrt(2n\pi)(n/e)^n(1+1/(12n)+1/(288n^2)....)$ Quest'ultimo pezzo non serviva, perché quelle "n" al denominatore rendono $0$ tutti i fattori, poiché stai facendo un limite all'infinito )

P.S. Se l'ho svolto correttamente, questo è uno dei metodi per risolvere limiti con $n!$, ma è possibile che il tuo insegnante te ne abbia insegnati di più facili (Purtroppo io so' usare solo questo metodo)

Vedi se qualcuno qui sul forum sà arrivarci più facilmente

[f.serafini93]

Grazie, avevo già visto l'approssimazione di Stirling ma non sapevo come usarla nei calcoli, mi hai chiarito un dubbio. grazie mille, anche se questo metodo è un po "laborioso" l'importante è che si giunga a un risultato corretto.