Esercizio limite di integrali definiti

[ymaxy]

Salve a tutti
nella sessione invernale di analisi 1 mi è capitato un esercizio che non sono stato in grado di risolvere. Qualcuno può darmi una mano?
Grazie in anticipo

$lim_(x->0^+)(int_0^(2x) (1-cosh(t))senh(t^2) dt)/(3x-(int_0^(3x) cosh(t^2) dt)$

[Noisemaker]

La prima cosa che puoi osservare è che le due funzioni integrande sono continu e quindi integrabili; dette $F,G$ due primitive qualunque rispettivamente, per il teorema fondamentale del calcolo integrale hai che:
\begin{align}
\lim_{x\to0^+}\frac{\displaystyle\int_{0}^{2x}\left(1-\cosh t\right)\sinh t^2\,\,dt}{3x-\displaystyle\int_{0}^{3x} \cosh t^2}=\lim_{x\to0^+}\frac{F(2x)-F(0)}{3x-G(3x)+G(0)};
\end{align}
a questo punto hai una forma indeterminata del tipo $0/0,$ (Perchè??) e quindi possiamo applicare la regola di De L'Hopital:
\begin{align}
\lim_{x\to0^+}\frac{F(2x)-F(0)}{3x-G(3x)+G(0)}\stackrel{\bf(H)}{=} \lim_{x\to0^+}\frac{2F'(2x)-0}{3-3G'(3x)+0} = \lim_{x\to0^+}\frac{2F'(2x) }{3-3G'(3x) } ;
\end{align}
a questo punto direi che si potrebbe riapplicare il teorema fondamentale del calcolo integrale ....

[ymaxy]

Mi è chiaro il fatto che mi trovo di fronte ad una formai indeterminata, dato che sia la funzione al denominatore che quella al denominatore tendono a 0 al tendere di x a 0. Ma in questo caso posso utilizzare il teorema di De l'Hospital sugli integrali?

[Plepp]

"ymaxy":Ma in questo caso posso utilizzare il teorema di De l'Hospital sugli integrali?

E perché no? La legge è uguale per tutti Sono pur sempre funzioni derivabili...

[Noisemaker]

quelle sono Funzioni integrali, che come ha detto Plepp, sono derivabili, e quindi De L'Hopital lo possiamo utilizzare alla grande (anzi penso proprio che sia l'ambito migliore per la sua applicazione!)

[21zuclo]

@ymaxy

praticamente per risolvere quel limite, dove ti hanno spiegato tutto, stanno utilizzando questa formula

$D(\int_(a(x))^(b(x))f(t)dt)= f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)$

[ymaxy]

Grazie mille a tutti
Ora è tutto chiaro. Gentilissimi come sempre

[Noisemaker]

e quindi quanto ti viene il limite?

[ymaxy]

Scusate il ritardo. Comunque alla fine di tutto mi viene

$\lim_(x->0^+)((16x-16x)/(18x)) = lim_(x->0^+)(0/(18x)) = 0 $

[Noisemaker]

il limite è zero ma non credo per quel motivo li ....

[ymaxy]

Quindi ho sbagliato qualcosa nel procedimento?

[Noisemaker]

se non posti i passaggi è dura capire ...

[ymaxy]

Dopo aver utilizzato De l'Hopital ottengo:

$lim_(x->0^+)(((1-cosh(2x))sinh(4x^2)*2)/(3-3cosh(9x^2))) $

sviluppo il numeratore:

$lim_(x->0^+)(((2*sinh(4x^2)-2cosh(2x)sinh(4x^2))/(3-3cosh(9x^2))) $

Applico nuovamente De l'Hopital:

$lim_(x->0^+)((16x*cosh(4x^2)-4sinh(2x)sinh(4x^2)-16x*cosh(2x)cosh(4x^2))/(3cosh(9x^2)*18x)) $

dato che senh(0) = 0 e il cosh(0) = 1 ottengo:

$lim_(x->0^+)((16x-16x)/(18x)) = lim_(x->0^+)(0/(18x)) = 0 $