Esercizio limite con seno
Salve, sto provando a risolvere il seguente limite:
$lim_(x->\pi/2)((1-senx)/(x*cosx))^2$
Allora vedo subito forma indeterminata $0/0$ e la prima cosa che mi viene in mente da fare è risolvere
il quadrato.
$lim_(x->\pi/2)(1-2senx+sen^2(x))/(x^2*cos^2(x))$
Qui sono bloccato...
Quello che ho provato a fare è utilizzare la relazione $ sen^2(x) + cos^2(x) = 1$ ma non mi è servita.
Ho provato a mettere in evidenza per utilizzare limiti notevoli ma niente da fare...
Perdonatemi ma non riesco ad entrare nella logica
$lim_(x->\pi/2)((1-senx)/(x*cosx))^2$
Allora vedo subito forma indeterminata $0/0$ e la prima cosa che mi viene in mente da fare è risolvere
il quadrato.
$lim_(x->\pi/2)(1-2senx+sen^2(x))/(x^2*cos^2(x))$
Qui sono bloccato...
Quello che ho provato a fare è utilizzare la relazione $ sen^2(x) + cos^2(x) = 1$ ma non mi è servita.
Ho provato a mettere in evidenza per utilizzare limiti notevoli ma niente da fare...
Perdonatemi ma non riesco ad entrare nella logica
Risposte
Ciao, secondo me potresti fare una sostituzione e usare le formule degli archi associati...
Elaboro un attimino:
Ciao python34,
Pur condividendo il suggerimento di Weierstress (a proposito: complimenti, nick fantastico...
), c'è un errore nello svolgimento in spoiler perché la sostituzione corretta è $t := x - pi/2 $ (anche se poi il risultato finale è quello). Comunque avrei risolto diversamente:
$lim_{x->\pi/2}((1-sin x)/(x \cdot cos x))^2 = lim_{x->\pi/2}(1-sin x)^2/(x^2 \cdot cos^2 x) = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1-sin x)^2/(cos^2 x) = $
$ = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1- sin x)^2/(1 - sin^2 x) = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1-sin x)^2/((1 - sin x)(1 + sin x)) = $
$ = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1- sin x)/(1 + sin x) = frac{4}{\pi^2} \cdot frac{0}{2} = 0 $
Pur condividendo il suggerimento di Weierstress (a proposito: complimenti, nick fantastico...
), c'è un errore nello svolgimento in spoiler perché la sostituzione corretta è $t := x - pi/2 $ (anche se poi il risultato finale è quello). Comunque avrei risolto diversamente:$lim_{x->\pi/2}((1-sin x)/(x \cdot cos x))^2 = lim_{x->\pi/2}(1-sin x)^2/(x^2 \cdot cos^2 x) = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1-sin x)^2/(cos^2 x) = $
$ = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1- sin x)^2/(1 - sin^2 x) = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1-sin x)^2/((1 - sin x)(1 + sin x)) = $
$ = lim_{x->\pi/2} 1/x^2 \cdot lim_{x->\pi/2} (1- sin x)/(1 + sin x) = frac{4}{\pi^2} \cdot frac{0}{2} = 0 $
Grazie mille ad entrambi per le risposte e mi scuso se sto facendo molte domande ma purtroppo non riesco ad "entrare nell'ottica",cioè riuscire ,appena mi si presenta un limite davanti,a capire la strategia adeguata da adottare.
Grazie infinite comunque
Grazie infinite comunque
Grazie per la segnalazione pilloeffe, brutta svista, chiedo scusa all'OP.
Grazie anche per i complimenti al nick
Grazie anche per i complimenti al nick
"Weierstress":
Grazie per la segnalazione pilloeffe, brutta svista, chiedo scusa all'OP.
Prego, figurati, come dico sempre una svista può capitare a tutti, sottoscritto incluso...
"Weierstress":
Grazie anche per i complimenti al nick
Prego... Meritatissimi!
@python34
"python34":
mi scuso se sto facendo molte domande
Ma di niente, figurati, noi ci divertiamo a rispondere...
"python34":
purtroppo non riesco ad "entrare nell'ottica",cioè riuscire ,appena mi si presenta un limite davanti,a capire la strategia adeguata da adottare.
Eh, beh, hai detto ceci: questa è una capacità che si acquisisce col tempo, con l'esperienza, facendo un bel po' di esercizi di diverso genere... Non esiste la bacchetta magica. Vedrai che fra un po' di tempo, se continuerai ad esercitarti, diventerai molto più bravo.
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