Esercizio limite con parametro alfa

[giovi095]

ciao a tutti,
solo un piccolo dubbio su questo esercizio:

data la funzione $\f(x) = (x^4+x^3-x^2senx)/(x^2+x^a-sen(x^2))$

dove $\a$ è un numero reale positivo $\a>0$
studiare i limiti:
$\lim_{n \to \+infty}f(x)$ $\lim_{n \to \0^+}f(x)$

primo limite:

$\lim_{n \to \+infty} (x^4+x^3-x^2senx)/(x^2+x^a-sen(x^2)) $

$\lim_{n \to \+infty} [x^4(1 + 1/x - (1/x^2)senx)]/[x^2(1+x^a/x^2-(1/x^2)sen(x^2)) $

dunque $\x^4$ e $\x^2$ si semplificano e rimane al numeratore $\x^2$, poi $\1/x$ tende a zero a più infinito, così come $\1/x^2$ così si annulla anche $\senx$, mentre al denominatore rimane $\x^a/x^2$ e $\(sen(x^2))/(x^2)$, ma $\1/x^2$ tende a zero, dunque anche $\sen(x^2)$ è zero (è POSSIBILE FARE COSì O BISOGNA FARE IL TEOREMA DEL CONFRONTO IN OGNI CASO?).

questo è ciò che mi rimane:

$\lim_{n \to \+infty} [(x^2)(x^2/x^a)] $

qui inizio la mia discussione, in cui ho tre possibilità:
1) se $\ a = 4$ allora il $\lim_{n \to \+infty}f(x) = 1$
2) se $\a>4$ allora il $\lim_{n \to \+infty}f(x) = 0$
3) se $\a<4$ allora il $\lim_{n \to \+infty}f(x) = + infty$

adesso invece devo studiare il $\lim_{n \to \0^+}f(x)$

$\lim_{n \to \0^+} (x^4+x^3-x^2senx)/(x^2+x^a-sen(x^2))$

divido tutto per $\x^2$

$\lim_{n \to \0^+} [(x^4+x^3-x^2senx)/x^2]/[(x^2+x^a-sen(x^2))/x^2]$

e ottengo

$\lim_{n \to \0^+} (x^2+x-senx)/(1+x^a/x^2-(sen(x^2))/(x^2))$

dunque ciò che mi rimane è:

$\lim_{n \to \0^+} (o^+)/((x^a)/(x^2))$
quindi:

$\lim_{n \to \0^+} ((x^2)/(x^a))$

adesso faccio lo studio del parametro reale $\a$

se $\a=0$ allora $\lim_{n \to \0^+}f(x) =1$
se $\a>0$ allora $\lim_{n \to \0^+}f(x) =0$
se $\a<0$ allora $\lim_{n \to \0^+}f(x) =+infty$

ragazzi, appena potete datemi una mano per piacere grazie mille in anticipo

[giovi095]

ho svolto l'esercizio in modo corretto?

[poll89]

Il limite ad infinito mi sembra corretto, il trucchetto di raccogliere i termini di grado maggiore vale imponendo che sia $x!=0$, e qui puoi assumerlo WLOG (almeno definitivamente) perchè hai $x->+infty$.

Nel secondo c'è un errore: dopo $ \lim_{x \to \0^+} (x^2+x-senx)/(1+x^a/x^2-(sen(x^2))/(x^2)) $ ottieni $ \lim_{x \to \0^+} (x^2)/((x^a)/(x^2)) $, non $ \lim_{x \to \0^+} (o^+)/((x^a)/(x^2)) $.

Comunque, più rapidamente di come hai fatto tu si poteva fare così: essendo che $sin(x) ~ x text( se ) x->0$ (e quindi $ sin(x^2) ~ x^2$), lo sostituisci direttamente in $ \lim_{x \to \0^+} (x^4+x^3-x^2senx)/(x^2+x^a-sen(x^2)) $ e poi hai $ \lim_{x \to \0^+} x^4/x^a =\lim_{x \to \0^+} x^(4-a) = {(0 text( se ) a<4),(1 text( se ) a=4),(+infty text( se ) a>4):} $

Un'ultima cosa: occhio quando scrivi i limiti, la variabile è x, non n

[giovi095]

grazie mille