Esercizio limite
Buonasera, vi pongo quest'esercizio: $lim_(x->0) (1-(e^x)^2)/(x^3 + sqrtx)$. Ho impostato l'o piccolo del numeratore, che dovrebbe essere $1-(1+x^2 +o(x))$. Il denominatore non so come impostarlo in termini di o piccolo, sapreste darmi gentilmente una mano?
Risposte
Siccome
\( 1- (e^{x})^{2} = 1-e^{2x} = 1- (1+2x+o(x)) = -2x + o(x) \) quando \( x \to 0 \)
\( x^3+\sqrt{x} = \sqrt{x} + o(x^{1/2}) \) quando \( x \to 0^+ \)
Si ha che
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{ 1- (e^{x})^{2}}{x^3+\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} -2 \frac{x}{\sqrt{x}} =0 \]
Quello che hai scritto tu contiene (almeno) un errore. Innanzitutto ricorda che $(e^{x})^2 = e^{2x} $ cosa che ti semplificherebbe molto la vita. Se non te ne accorgi allora devi considerare che \( e^x \sim 1+x +o(x) \) e dunque
\[ (e^x)^2 = (1+x+o(x))^2 = 1 + 2x +x^2 + o(x^2) = 1+ 2x + o(x) \]
Quindi, come ho scritto all'inizio, \( 1-(e^{x})^2 = -2x +o(x) \).
Per quanto riguarda il denominatore ricordati che vicino allo zero "conta chi va più piano" ovvero \( x^3+\sqrt{x} = \sqrt{x} + o(x^{1/2}) \)
\( 1- (e^{x})^{2} = 1-e^{2x} = 1- (1+2x+o(x)) = -2x + o(x) \) quando \( x \to 0 \)
\( x^3+\sqrt{x} = \sqrt{x} + o(x^{1/2}) \) quando \( x \to 0^+ \)
Si ha che
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{ 1- (e^{x})^{2}}{x^3+\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} -2 \frac{x}{\sqrt{x}} =0 \]
Quello che hai scritto tu contiene (almeno) un errore. Innanzitutto ricorda che $(e^{x})^2 = e^{2x} $ cosa che ti semplificherebbe molto la vita. Se non te ne accorgi allora devi considerare che \( e^x \sim 1+x +o(x) \) e dunque
\[ (e^x)^2 = (1+x+o(x))^2 = 1 + 2x +x^2 + o(x^2) = 1+ 2x + o(x) \]
Quindi, come ho scritto all'inizio, \( 1-(e^{x})^2 = -2x +o(x) \).
Per quanto riguarda il denominatore ricordati che vicino allo zero "conta chi va più piano" ovvero \( x^3+\sqrt{x} = \sqrt{x} + o(x^{1/2}) \)
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