Esercizio limite
Salve a tutti. Qualcuno saprebbe darmi una dritta per risolvere questo limite? Mi sta facendo dannare. Ho provato a moltiplicare, dividere aggiungere sottrarre, hoptal....e non riesco proprio ad arrivare alla soluzione
$ lim_(x -> 0) (cos(sqrt(x) )- sqrt(1-x))/x^2 $
$ lim_(x -> 0) (cos(sqrt(x) )- sqrt(1-x))/x^2 $
Risposte
Hai già provato a vedere come lo risolve Wolfram Alpha?
Moltiplica sopra e sotto per \(\cos{\sqrt{x}}+\sqrt{1-x}\) cos' a numeratore rimane una differenza di quadrati.
Ho provato anche io così... ma poi sei di nuovo da capo, viene ancora una forma $ 0/0 $
secondo wolf viene 1/6
Dovrebbe essere
$cos(\sqrtx)=1-x/2+x^2/24+o(x^2)$
$\sqrt(1-x)=1-x/2-x^2/8+o(x^2)$.
Quindi
$ lim_(x -> 0) (cos(sqrt(x) )- sqrt(1-x))/x^2 $
$ lim_(x -> 0) (1-x/2+x^2/24-(1-x/2-x^2/8)+o(x^2))/x^2 = lim_(x -> 0) (1/6x^2+o(x^2))/(x^2)=1/6$
$cos(\sqrtx)=1-x/2+x^2/24+o(x^2)$
$\sqrt(1-x)=1-x/2-x^2/8+o(x^2)$.
Quindi
$ lim_(x -> 0) (cos(sqrt(x) )- sqrt(1-x))/x^2 $
$ lim_(x -> 0) (1-x/2+x^2/24-(1-x/2-x^2/8)+o(x^2))/x^2 = lim_(x -> 0) (1/6x^2+o(x^2))/(x^2)=1/6$
O.O wow...scusami ma, queste cose non credo di averle nel programma, però mi diresti che teoremi usi? grazie cmq n.n
Benvenuto su questo Forum,Enrico:
ci fai capire se disponi "solo" dei limiti notevoli?
In tal caso,comunque
(scusa la rimarcazione,ma è chiesto esplicitamente d'evitare l'sms-ese,e te lo dice uno che,
postando spesso dal cellulare,fà gran fatica,pur riuscendoci spesso,a rispettare quel punto del regolamento
),
te la cavi solo se t'è noto che,tramite mezzi "elementari",si può dimostrare come $EElim_(t to 0)(t-"sen"t)/(t^3)=1/6$:
altrimenti ti resta solo De L'Hopital(magari dopo aver posto $x=t^2$..)!
Saluti dal web.
ci fai capire se disponi "solo" dei limiti notevoli?
In tal caso,comunque
(scusa la rimarcazione,ma è chiesto esplicitamente d'evitare l'sms-ese,e te lo dice uno che,
postando spesso dal cellulare,fà gran fatica,pur riuscendoci spesso,a rispettare quel punto del regolamento
),te la cavi solo se t'è noto che,tramite mezzi "elementari",si può dimostrare come $EElim_(t to 0)(t-"sen"t)/(t^3)=1/6$:
altrimenti ti resta solo De L'Hopital(magari dopo aver posto $x=t^2$..)!
Saluti dal web.
[tex]\displaystyle{ \frac{{\cos \left( {\sqrt x } \right) - \sqrt {1 - x} }}{{x^2 }} = \frac{{\cos ^2 \left( {\sqrt x } \right) - 1 + x}}{{x^2 }} \cdot \frac{1}{{cos\left( {\sqrt x } \right) + \sqrt {1 - x} }}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{cos\left( {\sqrt x } \right) + \sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ^2 \left( {\sqrt x } \right) - 1 + x}}{{x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin ^2 \left( {\sqrt x } \right) + x}}{{x^2 }}\mathop = \limits^{u = \sqrt x } \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{u^2 - \sin ^2 u}}{{u^4 }}\mathop = \limits^{{\textstyle{0 \over 0}}} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{2u - 2\sin u\cos u}}{{4u^3 }}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop = \limits^{{\textstyle{0 \over 0}}} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{2 - 2\cos ^2 u + 2\sin ^2 u}}{{12u^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{4\sin ^2 u}}{{12u^2 }} = \frac{1}{3}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos \left( {\sqrt x } \right) - \sqrt {1 - x} }}{{x^2 }} = \frac{1}{6}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{cos\left( {\sqrt x } \right) + \sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ^2 \left( {\sqrt x } \right) - 1 + x}}{{x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin ^2 \left( {\sqrt x } \right) + x}}{{x^2 }}\mathop = \limits^{u = \sqrt x } \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{u^2 - \sin ^2 u}}{{u^4 }}\mathop = \limits^{{\textstyle{0 \over 0}}} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{2u - 2\sin u\cos u}}{{4u^3 }}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop = \limits^{{\textstyle{0 \over 0}}} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{2 - 2\cos ^2 u + 2\sin ^2 u}}{{12u^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{4\sin ^2 u}}{{12u^2 }} = \frac{1}{3}}[/tex]
[tex]\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos \left( {\sqrt x } \right) - \sqrt {1 - x} }}{{x^2 }} = \frac{1}{6}}[/tex]
Ti ricordo che postare la soluzione per intero e' vietato dal nostro regolamento; ti invito quindi a dare solo suggerimenti e dritte e far ragionare invece chi ha posto la domanda.
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