Esercizio iperstandard sulle ODE
Mi viene assegnato il seguente problema di Cauchy
\[\begin{cases} y' = 2xy^2 \\ y(0) = y_0 \end{cases}\]
Se \(y_0 = 0\), \(y \equiv 0\) e' certamente soluzione. Se \(y_0 \neq 0\) ho ancora una soluzione della ODE, ma non del P.C.
Allora tipico (parrebbe ...) esempio di variabili separabili: in qualche intorno dell'origine dev'essere \(y \neq 0\) -per la continuita' della soluzione. Quindi riesco a riscrivere la ODE come
\[ \frac{y'}{y^2} = 2x \]
\[ \Rightarrow \int_0^x \frac{y'(t)}{y^2(t)}\,dt = \int_0^x 2t\,dt \qquad \fbox{\(\forall{x} \in B_\delta(0)\)} \]
...non vado avanti perche' l'esercizio mi e' stato proposto come introduzione alle ODE, e rimanendo nei paraggi dell'origine si risolve tutto.
Il mio dubbio pero' e': il fatto che stia trovando soluzioni per \(x \in B_\delta(0)\) non dovrebbe farmi pensare di poter avere soluzioni diverse per \(|x| \ge \delta\)?
\[\begin{cases} y' = 2xy^2 \\ y(0) = y_0 \end{cases}\]
Se \(y_0 = 0\), \(y \equiv 0\) e' certamente soluzione. Se \(y_0 \neq 0\) ho ancora una soluzione della ODE, ma non del P.C.
Allora tipico (parrebbe ...) esempio di variabili separabili: in qualche intorno dell'origine dev'essere \(y \neq 0\) -per la continuita' della soluzione. Quindi riesco a riscrivere la ODE come
\[ \frac{y'}{y^2} = 2x \]
\[ \Rightarrow \int_0^x \frac{y'(t)}{y^2(t)}\,dt = \int_0^x 2t\,dt \qquad \fbox{\(\forall{x} \in B_\delta(0)\)} \]
...non vado avanti perche' l'esercizio mi e' stato proposto come introduzione alle ODE, e rimanendo nei paraggi dell'origine si risolve tutto.
Il mio dubbio pero' e': il fatto che stia trovando soluzioni per \(x \in B_\delta(0)\) non dovrebbe farmi pensare di poter avere soluzioni diverse per \(|x| \ge \delta\)?
Risposte
"giuscri":
[...] Se \(y_0 \neq 0\) ho ancora una soluzione della ODE, ma non del P.C. [...]
Perché questa affermazione?
Peraltro non riesco a capire bene il tuo dubbio: ti stai domandando qualcosa intorno all'unicità della soluzione? Alla possibilità che essa sia globalmente definita? Perché qui la legge dell'equazione differenziale è di classe \(\mathcal{C}^1\) ( - ergo abbiamo lipschitzianità locale), e quindi siamo nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicità globale, versione debole - cfr. pag. 546 di De Marco, Analisi II.
"Delirium":
[quote="giuscri"][...] Se \(y_0 \neq 0\) ho ancora una soluzione della ODE, ma non del P.C. [...]
Perché questa affermazione?[/quote]
Effettivamente ho scritto molto male; ora correggo.
Mi riferivo alla funzione nulla: e' ancora soluzione della ODE ma non passa per lo zero.
"Delirium":
Peraltro non riesco a capire bene il tuo dubbio: ti stai domandando qualcosa intorno all'unicità della soluzione? Alla possibilità che essa sia globalmente definita? Perché qui la legge dell'equazione differenziale è di classe \(\mathcal{C}^1\) ( - ergo abbiamo lipschitzianità locale), e quindi siamo nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicità globale, versione debole - cfr. pag. 546 di De Marco, Analisi II.
La biblioteca e' ancora chiusa -fra qualche ora mi andro' a sfogliare il De Marco ... Ributto li la questione comunque: il problema e' forse logico (?) ...
Quando separo le variabili ho bisogno di sfruttare il teorema della permanenza del segno per garantire che la divisione per \(y\) abbia senso -e quindi mi restringo alla palla in cui il segno effettivamente permane.
Ma cosa succede per le \(x\) fuori dalla palla?
Insomma, io l'esercizio lo porterei avanti cosi' -sia direttamente \(y_0 \neq 0\)
\[\begin{cases} y' = 2xy^2 \\ y(0) = y_0 \end{cases}\]
Restringendomi a \(B_\delta(0)\) riesco a scrivere
\[\frac{y'}{y^2} = 2x\]
\[\Rightarrow \int_{0}^x \frac{y'(t)}{y^2(t)}\,dt = \int_0^x 2t\,dt \equiv x^2\]
\[\Rightarrow -\,x^2 = \frac{1}{y(x)} - \frac{1}{y_0}\]
\[\Rightarrow y(x) = \frac{y_0}{1 - y_0\,x^2}\]
che ha senso solamente per qualche \(x\) dentro \(B_\delta(0)\).
Ok. Ma fuori?...
Quell'espressione di \(y(x)\) smette di essere valida -perche' me la sono ricavata stando ben dentro la bolla.
[ot]Mi sa che mi tocca studiare un po', guardarmi il De Marco e poi tornare a porre una questione che abbia una forma meglio comprensibile
[/ot]
Ok, forse va meglio.
Se non interpreto male, mia pare che il tuo dilemma riguardi appunto il carattere generale della soluzione di un PdC. A questo proposito Cauchy ci ha fatto dono di due importanti teoremi di esistenza ed unicità per equazioni differenziali sotto condizioni di lipschitzianità e/o sub-linearità. La cosa figa è che con quasi le medesime ipotesi la sol. di un PdC passa dall'esistere in un intorno del "punto" iniziale all'esistere per tutti i tempi (sempre che non esploda in tempo finito). Così a titolo informativo ti enuncio i due teoremi a cui faccio riferimento, così magari ci ragioni un po' e vedi se la faccenda ti si chiarisce:
Teorema di esistenza ed unicità (versione locale). Siano \(\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}\) un insieme aperto, \((x_0,y_0) \in \Omega\) e sia \(f \in \mathcal{C}(\Omega, \mathbb{R}^n) \) una funzione localmente di Lipschitz in \(y\) (uniformemente nella \(x\)). Allora esiste un \(\delta > 0 \) t.c. il Problema di Cauchy \[\begin{cases} y' = f(x,y) \\ y(x_0)=y_0\end{cases} \qquad [1] \] ha una soluzione unica \(y \in \mathcal{C}^1 (I, \mathbb{R}^n )\) nell'intervallo \(I= [x_0 - \delta , x_0 + \delta]\). Inoltre se \(z \in \mathcal{C}^1 (I, \mathbb{R}^n)\) è una soluzione dello stesso Problema di Cauchy in un intervallo intorno a \(x_0\), allora \(y\) e \(z\) coincidono sull'intersezione dei due intervalli su cui sono definite.
Teorema di esistenza ed unicità (versione globale forte). Siano \((a_0,b_0)=I\) con \(-\infty \le a_0 < b_0 \le +\infty\), \(\Omega = I \times \mathbb{R}^n\), e sia \(f \in \mathcal{C}(\Omega, \mathbb{R}^n)\) una funzione continua localmente di Lipschitz in \(y\). Supponiamo che per ogni compatto \(K \subset I\) esista una costante \(C \ge 0\) t.c. \[|f(x,y)| \le C(1 + |y|) \quad \forall \, x \in K, \ \forall \, y \in \mathbb{R}^n \]Allora \([1]\), con \(x_0 \in I\) e \(y_0 \in \mathbb{R}^n\) ha un'unica soluzione globale definita su tutto \(I\).
La dimostrazione del primo teorema fa un uso fondamentale (ed elegante, se mi è permesso dirlo) del Banach fixed-point theorem.
Se non interpreto male, mia pare che il tuo dilemma riguardi appunto il carattere generale della soluzione di un PdC. A questo proposito Cauchy ci ha fatto dono di due importanti teoremi di esistenza ed unicità per equazioni differenziali sotto condizioni di lipschitzianità e/o sub-linearità. La cosa figa è che con quasi le medesime ipotesi la sol. di un PdC passa dall'esistere in un intorno del "punto" iniziale all'esistere per tutti i tempi (sempre che non esploda in tempo finito). Così a titolo informativo ti enuncio i due teoremi a cui faccio riferimento, così magari ci ragioni un po' e vedi se la faccenda ti si chiarisce:
Teorema di esistenza ed unicità (versione locale). Siano \(\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}\) un insieme aperto, \((x_0,y_0) \in \Omega\) e sia \(f \in \mathcal{C}(\Omega, \mathbb{R}^n) \) una funzione localmente di Lipschitz in \(y\) (uniformemente nella \(x\)). Allora esiste un \(\delta > 0 \) t.c. il Problema di Cauchy \[\begin{cases} y' = f(x,y) \\ y(x_0)=y_0\end{cases} \qquad [1] \] ha una soluzione unica \(y \in \mathcal{C}^1 (I, \mathbb{R}^n )\) nell'intervallo \(I= [x_0 - \delta , x_0 + \delta]\). Inoltre se \(z \in \mathcal{C}^1 (I, \mathbb{R}^n)\) è una soluzione dello stesso Problema di Cauchy in un intervallo intorno a \(x_0\), allora \(y\) e \(z\) coincidono sull'intersezione dei due intervalli su cui sono definite.
Teorema di esistenza ed unicità (versione globale forte). Siano \((a_0,b_0)=I\) con \(-\infty \le a_0 < b_0 \le +\infty\), \(\Omega = I \times \mathbb{R}^n\), e sia \(f \in \mathcal{C}(\Omega, \mathbb{R}^n)\) una funzione continua localmente di Lipschitz in \(y\). Supponiamo che per ogni compatto \(K \subset I\) esista una costante \(C \ge 0\) t.c. \[|f(x,y)| \le C(1 + |y|) \quad \forall \, x \in K, \ \forall \, y \in \mathbb{R}^n \]Allora \([1]\), con \(x_0 \in I\) e \(y_0 \in \mathbb{R}^n\) ha un'unica soluzione globale definita su tutto \(I\).
La dimostrazione del primo teorema fa un uso fondamentale (ed elegante, se mi è permesso dirlo) del Banach fixed-point theorem.
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