Esercizio interessante su integrali curvilinei
$\int_{Gamma}[3x^2ln(1+x^2+y) + (2x^4)/(1+x^2+y)]dx+[x^3/(1+x^2+y)]dy$
$Gamma: vecr(t)=t^2veci+[t+sin(pit)]vecj ^^ tin[0,1]$
questo particolare esercizio mi è capitato in un tema di analisi 2, come potete vedere è abbastanza intricato, rispetto agli esercizi corrispondenti in altri temi d'esame decisamente più semplici, quindi, sono certo che c'è un modo semplice per risolverlo a cui io non ho pensato! qualcuno può aiutarmi?
io ho provato derivando la funzione gamma, elevando alla seconda i componedi di i e j quindi mettendo sotto radice; sostituendo poi nella funzione(la parte i e j rispettivamente al posto di x e j), e aggiungendo \(\displaystyle ||r'(t)|| \), insomma svolgendo l'esercizio come un normale integrale curvilineo di prima specie quale è, tuttavia, vi renderete conto che seguendo questo procedimento i calcoli sono molto difficili, dunque, qualcuno ha idee migliori?
ringrazio tutti anticipatamente
$Gamma: vecr(t)=t^2veci+[t+sin(pit)]vecj ^^ tin[0,1]$
questo particolare esercizio mi è capitato in un tema di analisi 2, come potete vedere è abbastanza intricato, rispetto agli esercizi corrispondenti in altri temi d'esame decisamente più semplici, quindi, sono certo che c'è un modo semplice per risolverlo a cui io non ho pensato! qualcuno può aiutarmi?
io ho provato derivando la funzione gamma, elevando alla seconda i componedi di i e j quindi mettendo sotto radice; sostituendo poi nella funzione(la parte i e j rispettivamente al posto di x e j), e aggiungendo \(\displaystyle ||r'(t)|| \), insomma svolgendo l'esercizio come un normale integrale curvilineo di prima specie quale è, tuttavia, vi renderete conto che seguendo questo procedimento i calcoli sono molto difficili, dunque, qualcuno ha idee migliori?
ringrazio tutti anticipatamente
Risposte
Potresti modificare il titolo inserendone uno più esplicativo, come richiesto dal regolamento, e che sottointenda l'argomento del post nello specifico?
Inoltre dovresti rivedere la scrittura di quell'integrale, perché scritto così non è molto chiaro.
Inoltre dovresti rivedere la scrittura di quell'integrale, perché scritto così non è molto chiaro.
"Seneca":
Inoltre dovresti rivedere la scrittura di quell'integrale, perché scritto così non è molto chiaro.
Ciao Seneca. Ho provato a "decodificarlo" io. Speriamo vada bene.
grazie per la "decodifica"!
Ma tu sei sicuro che la traccia non fosse questa?
$\int_\Gamma [(3x^2 \ln(1+x^2+y)+{2x^4}/{1+x^2+y})\ dx+x^3/{1+x^2+y}\ dy]$
Perché se è così, la forma risulta chiusa ed esatta su un dominio che contiene la curva, per cui...
$\int_\Gamma [(3x^2 \ln(1+x^2+y)+{2x^4}/{1+x^2+y})\ dx+x^3/{1+x^2+y}\ dy]$
Perché se è così, la forma risulta chiusa ed esatta su un dominio che contiene la curva, per cui...
certo! chiedo scusa per l'errore, ma la traccia mi è stata data su un foglio scritto a mano quindi non si capiva bene la posizione del fratto ! allora, la traccia è quella proposta da ciampax, provvedo subito a modificarla nel primo messaggio, ma scusa la mia ignoranza e spiega il procedimento nel caso di forma chiusa
grazie
grazie
Bè; è la base della teoria. Se hai una forma $\omega=A\ dx+B\ dy$ definita su un dominio $D$ semplicemente connesso e la forma è chiusa (cioè vale la condizione ${\partial A}/{\partial y}={\partial B}/{\partial x}$) allora essa risulta esatta (Teorema di Poincarè) e quindi esiste una funzione $f:D\subset RR^2\rightarrow RR$ tale che $df=\omega$, o, in alternativa, tale che
$A={\partial f}/{\partial x},\qquad B={\partial f}/{\partial y}$
che si dice primitiva di $\omega$. Se allora vuoi calcolare l'integrale curvilino di $\omega$ lunga una curva $\Gamma$ di punti iniziale e finale $P_0(x_0,y_0),\ P_1(x_1,y_1)$ un noto teorema afferma che
$\int_{\Gamma} \omega=f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0)$.
Però bello mio, se non studi le basi, questi esercizi non li fai manco se ti appare l'Assunta in tutto il suo fulgore avvolta dallo Spirito Santo! (Nota: oggi è il 15 agosto!)
$A={\partial f}/{\partial x},\qquad B={\partial f}/{\partial y}$
che si dice primitiva di $\omega$. Se allora vuoi calcolare l'integrale curvilino di $\omega$ lunga una curva $\Gamma$ di punti iniziale e finale $P_0(x_0,y_0),\ P_1(x_1,y_1)$ un noto teorema afferma che
$\int_{\Gamma} \omega=f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0)$.
Però bello mio, se non studi le basi, questi esercizi non li fai manco se ti appare l'Assunta in tutto il suo fulgore avvolta dallo Spirito Santo! (Nota: oggi è il 15 agosto!)
ok meglio che mi studio teoria 
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