Esercizio integrali impropri

[xneo1]

ciao a tutti ho dei dubbi su questo integrale improprio.
L'esercizio dice di studiare la convergenza

$ int_(5)^(6) log((x+6)/(x-5)) dx $

vorrei sapere se il seguente ragionamento è giusto:
la funzione integranda è minore di 0 nell'intervallo $ [5,6] $ quindi per poter applicare il criterio del confronto asintotico
scrivo l'integrale nel seguente modo:

$ int_(5)^(6) - log((x+6)/(x-5)) dx $ quindi per le proprietà dei logaritmi diventa:

$ int_(5)^(6) log((x-5)/(x+6)) dx $

a questo punto:
$log((x-5)/(x+6)) ~ ((x-5)/(x+6))-1$ per $ x-> 5 $

$ int_(5)^(6) log((x-5)/(x+6)) dx ~ ((x-5)/(x+6))-1 = -11/(x+6) = -11/11 =-1$

da cui di deduce che l'integrale converge.

[Steven11]

Ciao,

"xneo":
a questo punto:
$log((x-5)/(x+6)) ~ ((x-5)/(x+6))-1$ per $ x-> 5 $

questo punto non va. Infatti a sinistra avresti il logaritmo di $0^{+}$ ovvero $- \infty$, a destra hai $-1$.

Il limite notevole ti dice che
$ \log x \ ~ \ x-1$ per $x \to 1$, ma non è questo il tuo caso. Questo esercizio si può risolvere brutalmente calcolando l'integrale, ti basta scrivere $\log (x+6) - \log(x-5)$ e calcolarti l'integrale di $\log (x-5)$, che è l'unico elemento ad esplodere e quindi a dover essere verificato. L'integrale del logaritmo è noto, se non lo conosci lo fai per parti facilmente.

Ciao!

[xneo1]

grazie per la risposta.

Hai ragione, infatti il dubbio mio stava proprio su quel passaggio.

quindi:

$ int_(5)^(6) log(x+6) dx $ converge perchè tra 5 e 6 non c'è nessun problema

invece:

$ int_(5)^(6) log(x-5) dx $ lo posso scrivere come $ lim_(k-> 5^+) int_(k)^(6) log(x-5) dx $

da cui $ lim_(k-> 5^+) [(x-5)log(x-5)-(x-5)]$ tra k e 6
quindi
$ lim_(k-> 5^+) [((6-5)log(6-5)-(6-5))-((k-5)log(k-5)-(k-5))] = $
$ lim_(k-> 5^+) -1-((k-5)log(k-5)-(k-5))= -1$

ora poichè:

$ int_(5)^(6) log(x+6) dx $ converge e
$ int_(5)^(6) log(x-5) dx $ converge

allora $ int_(5)^(6) log(x+6) dx - int_(5)^(6) log(x-5) dx $ converge

[Steven11]

Tutto giusto!

Ciao