Esercizio integrali doppi
Ciao a tutti. Ho un problema con un esercizio di analisi 2. Il testo dell'esercizio è descritto nell'immagine : https://www.dropbox.com/s/o9ugu05yjioljdt/esercizio.png.
Il mio dubbio è come effettuare la sostituzione.
La mia idea è quella di usare il cambiamento di variabili
u = x/y
v = xy
in modo da trasformare il dominio in un rettangolo e in modo che risulti :
T'={ 1/2 ≤ u ≤ 1 ; 2π ≤ v ≤ 3π }.
Il problema è che al momento in cui vado a sostituire il valore di x e y (in funzione di u e v) nell'integrale, non so come andare avanti.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo.
Il mio dubbio è come effettuare la sostituzione.
La mia idea è quella di usare il cambiamento di variabili
u = x/y
v = xy
in modo da trasformare il dominio in un rettangolo e in modo che risulti :
T'={ 1/2 ≤ u ≤ 1 ; 2π ≤ v ≤ 3π }.
Il problema è che al momento in cui vado a sostituire il valore di x e y (in funzione di u e v) nell'integrale, non so come andare avanti.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
devi fare quello che si fa quando si passa alle coordinate polari
devi calcolare il determinante della matrice jacobiana $J$ relativa alla trasformazione:
$x=sqrt(uv);y=sqrt(v/u)$
e calcolare
$ int int_(T')f(x(u,v),y(u,v))|J| du dv $
devi calcolare il determinante della matrice jacobiana $J$ relativa alla trasformazione:
$x=sqrt(uv);y=sqrt(v/u)$
e calcolare
$ int int_(T')f(x(u,v),y(u,v))|J| du dv $
Ho continuato l'esercizio come ha consigliato stormy ed ho ottenuto il seguente integrale :
https://www.dropbox.com/s/82o2y38gen7weud/svolgimento.jpg
Come posso procedere per calcolarlo?
https://www.dropbox.com/s/82o2y38gen7weud/svolgimento.jpg
Come posso procedere per calcolarlo?
Probabilmente è più comodo operare una trasformazione del tipo
\begin{align}\begin{cases}u=y-x^3\\v=y+x^3\end{cases},\end{align}
in modo che l'insieme $T$ si trasforma nell'insieme $T'$ definito da:
\begin{align}T':=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: u\ge0,\,\,v-u\ge2,\,\,u+v\le6\};\end{align}
essendo poi
\begin{align}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=-6x^2,\end{align}
si ottiene:
\begin{align}\iint_T x^2(y-x^3)e^{y+x^3}\,\,dxdy=\frac{1}{6}\int_{u=0}^{2} u\,\,du\int_{v=u+2}^{6-u} e^v\,\,dv.\end{align}
\begin{align}\begin{cases}u=y-x^3\\v=y+x^3\end{cases},\end{align}
in modo che l'insieme $T$ si trasforma nell'insieme $T'$ definito da:
\begin{align}T':=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: u\ge0,\,\,v-u\ge2,\,\,u+v\le6\};\end{align}
essendo poi
\begin{align}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=-6x^2,\end{align}
si ottiene:
\begin{align}\iint_T x^2(y-x^3)e^{y+x^3}\,\,dxdy=\frac{1}{6}\int_{u=0}^{2} u\,\,du\int_{v=u+2}^{6-u} e^v\,\,dv.\end{align}
Questo metodo in effetti mi sembra molto più semplice e ci sono calcoli molto più fattibili. Era venuta in mente anche a me all'inizio e, avendo contattato anche il professore, mi ha detto che in questo modo non si sarebbe trasformato T in un rettangolo, per questo poi avevo il dubbio su quale usare.
Avrei una domanda in merito alla soluzione di Noisemaker: come si fa ad ottenere T ' ?
Comunque, intanto, vi ringrazio molto per avermi aiutato!!
Avrei una domanda in merito alla soluzione di Noisemaker: come si fa ad ottenere T ' ?
Comunque, intanto, vi ringrazio molto per avermi aiutato!!
basta sostiuire: avendo posto
\begin{align}\begin{cases}u=y-x^3\\v=y+x^3\end{cases},\quad\mbox{si ricava}\quad \begin{cases}\displaystyle x^3=\frac{u-v}{2}\\\displaystyle y=\frac{u+v}{2}\end{cases};\end{align}
sostiuendo nell'insime $T$ ottieni il sistema
\begin{align}\begin{cases} \displaystyle\frac{u-v}{2}\le\frac{u+v}{2}\\\displaystyle\frac{u+v}{2}\le 3\\\displaystyle\frac{u-v}{2}\ge1\end{cases},\end{align}
da cui ottieni
\begin{align}T':=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: u\ge0,\,\,v-u\ge2,\,\,u+v\le6\}.\end{align}
\begin{align}\begin{cases}u=y-x^3\\v=y+x^3\end{cases},\quad\mbox{si ricava}\quad \begin{cases}\displaystyle x^3=\frac{u-v}{2}\\\displaystyle y=\frac{u+v}{2}\end{cases};\end{align}
sostiuendo nell'insime $T$ ottieni il sistema
\begin{align}\begin{cases} \displaystyle\frac{u-v}{2}\le\frac{u+v}{2}\\\displaystyle\frac{u+v}{2}\le 3\\\displaystyle\frac{u-v}{2}\ge1\end{cases},\end{align}
da cui ottieni
\begin{align}T':=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: u\ge0,\,\,v-u\ge2,\,\,u+v\le6\}.\end{align}
Scusami ma non riesco proprio a capire come ottieni il sistema centrale ^^"
T contiene anche dei pi-greco, dove vanno a finire?
Rimetto il link del testo dell'esercizio, perchè non funziona più
https://www.dropbox.com/s/fuilaxl1dlda47w/esercizio.png
T contiene anche dei pi-greco, dove vanno a finire?
Rimetto il link del testo dell'esercizio, perchè non funziona più
https://www.dropbox.com/s/fuilaxl1dlda47w/esercizio.png
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