Esercizio integrale triplo in un insieme definito
Mi trovo a dover risolvere il seguente integrale $\int int int_{A} log(x+1) dxdydz$ dove $ A={y<=-x^2 +1 ; z<=1/2y+1 ; z>=0 ; y >=0}$
Per il momento, da quanto sono riuscito a capire, bisogna calcolare il volume contenuto sotto al piano che interseca il cilindro. Il problema è che non riesco a capire come determinare gli estremi per l'integrazione. Si deve procedere trovando l'intersezione fra cilindro e piano, ma poi?
Per il momento, da quanto sono riuscito a capire, bisogna calcolare il volume contenuto sotto al piano che interseca il cilindro. Il problema è che non riesco a capire come determinare gli estremi per l'integrazione. Si deve procedere trovando l'intersezione fra cilindro e piano, ma poi?
Risposte
Di che cilindro parli? Io vedo una parabola nel piano $z=0$ traslata $AA z>=0$, poi il piano $z<=1/2y+1$ e i due piani rimanenti. Prova a disegnare su un foglio (o al limite aiutati con un calcolatore online) l'insieme $A$. Poi dovrai scegliere se procedere per fili o per strati.
Scusa hai ragione, si tratta di una parabola e non di un cilindro come nell'immagina di seguito:
Il problema è che non so come procedere, nel senso che non so come impostare il sistema per trovare l'intersezione che mi interessa, in base alla figura che ho disegnato...
Il problema è che non so come procedere, nel senso che non so come impostare il sistema per trovare l'intersezione che mi interessa, in base alla figura che ho disegnato...
Io ho fatto così:
preferendo l'integrazione per fili ho cercato l'intersezione fra:
$\{(y=-x^2 +1),(z=1/2 y+1):}$
$\{(x=0),(y=1),(z=3/2):}$
da qui ho proceduto con questi estremi di integrazione: $\int int int_{y+x^2-1}^{3/2} log(x+1) dzdydx$ svolgendo poi i calcoli.
Ha senso oppure ho scritto una baggianata colossale?
preferendo l'integrazione per fili ho cercato l'intersezione fra:
$\{(y=-x^2 +1),(z=1/2 y+1):}$
$\{(x=0),(y=1),(z=3/2):}$
da qui ho proceduto con questi estremi di integrazione: $\int int int_{y+x^2-1}^{3/2} log(x+1) dzdydx$ svolgendo poi i calcoli.
Ha senso oppure ho scritto una baggianata colossale?
Uhmmm...
Per fili (buona scelta, direi) avrei provato così:
$0<=z<=1/2y+1$ e integro in $dz$.
Dopodichè mi resta un integrale doppio sulla proiezione del solido sul piano $z=0$, che è delimitata dalla retta $y=0$ e dalla parabola $y=-x^2+1$. Che ne dici?
Per fili (buona scelta, direi) avrei provato così:
$0<=z<=1/2y+1$ e integro in $dz$.
Dopodichè mi resta un integrale doppio sulla proiezione del solido sul piano $z=0$, che è delimitata dalla retta $y=0$ e dalla parabola $y=-x^2+1$. Che ne dici?
Mi sa che come dici tu è meglio... in pratica non hai dovuto trovare nessuna intersezione e ti sei limitato a integrare prima sull'asse z (cioè da zero fino al piano) e poi hai proceduto con un integrale doppio sulla proiezione del solido sul piano xy tra 0 e la parabola, esatto? scusa se non sono stato preciso ma gli integrali tripli sono un argomento per me ancora nuovo
E' esattamente quello che ho fatto. L'unica intersezione che ho trovato è quella col piano $z=0$, che non è altro che la proiezione del solido. Dovrebbe essere giusto, in caso contrario aspetto correzioni!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo