Esercizio integrale triplo
ciao ragazzi,
ho un problemino con il capire l'integrale triplo:
$ int int int_(v)^()y^2 dv $
$ v={(x,y,z):3y>=sqrt(x^2+z^2), 0<=y<=1} $
non riesco a capire come devo trattare il dominio (cosa rappresenta$ 3y>=sqrt(x^2+z^2)$
se ad esempio elimino la radice ottengo:
$ 3y>=sqrt(x^2+z^2)$
$ (3y)^2=x^2+z^2$
$ 9y^2=x^2+z^2$
grazie!
ho un problemino con il capire l'integrale triplo:
$ int int int_(v)^()y^2 dv $
$ v={(x,y,z):3y>=sqrt(x^2+z^2), 0<=y<=1} $
non riesco a capire come devo trattare il dominio (cosa rappresenta$ 3y>=sqrt(x^2+z^2)$
se ad esempio elimino la radice ottengo:
$ 3y>=sqrt(x^2+z^2)$
$ (3y)^2=x^2+z^2$
$ 9y^2=x^2+z^2$
grazie!
Risposte
Si tratta di un cono avente asse di simmetria l'asse $y$, lo puoi vedere perché la distanza dall'asse $y$ (ossia $\sqrt{x^2+z^2}$) varia linearmente in $y$.
Ciao cri98,
L'insieme $v $ si può riscrivere nel modo seguente:
$v = {(x,y,z) \in \RR^3 : y >= h/R \sqrt(x^2+z^2), 0 <= y <= h} $
ove $h = 1 $ è l'altezza del cono, $R = 3 $ il suo raggio di base. Per risolvere l'integrale proposto si consigliano caldamente le coordinate cilindriche seguenti:
${(x = \rho cos\theta),(y = y), (z = \rho sin\theta):} $
L'insieme $v $ si può riscrivere nel modo seguente:
$v = {(x,y,z) \in \RR^3 : y >= h/R \sqrt(x^2+z^2), 0 <= y <= h} $
ove $h = 1 $ è l'altezza del cono, $R = 3 $ il suo raggio di base. Per risolvere l'integrale proposto si consigliano caldamente le coordinate cilindriche seguenti:
${(x = \rho cos\theta),(y = y), (z = \rho sin\theta):} $
ciao pilloeffe,
ho provato ad impostare l'integrale, va bene o è completamente errato?
Grazie
$ intintinty^2dv= $
$ int_(0)^(h) (int_(0)^(2pi ) int_(0)^(h/Rsqrt(x^2+z^2))y^2rho drhodvartheta ))= $
ho provato ad impostare l'integrale, va bene o è completamente errato?
Grazie
$ intintinty^2dv= $
$ int_(0)^(h) (int_(0)^(2pi ) int_(0)^(h/Rsqrt(x^2+z^2))y^2rho drhodvartheta ))= $
"cri98":
ho provato ad impostare l'integrale, va bene o è completamente errato?
La seconda che hai detto...
Si ha:
$\int \int \int_v y^2 \text{d}v = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^R \rho \text{d}\rho \int_{h/R \rho}^h y^2 \text{d}y $
$ \int \int \int_v y^2 \text{d}v = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^R \rho \text{d}\rho \int_{h/R \rho}^h y^2 \text{d}y $
ottengo:
$ \int \int \int_v y^2 \text{d}v = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^R \rho \text{d}\rho[y^3/3]_(h/Rrho)^(h)= \text $
$ \int \int \int_v y^2 \text{d}v = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^R \rho \text{d}\rho[h^3/3-(h^3/R^3rho^3)/3]= $
dopo qualche passaggio ottengo:
$ int_(0)^(2pi)h^3/3[rho^2/2]_(0)^(R)-h^3/(3r^3)[rho^5/5]_(0)^(R)d(theta)= $
$ [(h^3R^2)/6theta-h^3R^5/(15R^3)theta]_(0)^(2pi)= $
$ [(h^3R^2)/6(2pi)-h^3R^5/(15R^3)(2pi)]= $
è corretto?
come proseguo?
"cri98":
è corretto?
Sì, ma perché hai la tendenza a complicarti la vita?
Semplicemente si ha:
$ \int \int \int_v y^2 \text{d}v = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^R \rho \text{d}\rho \int_{h/R \rho}^h y^2 \text{d}y = 2\pi \int_0^R [h^3/3 \rho - h^3/(3R^3) \rho^4] \text{d}\rho = 2\pi[h^3 \rho^2/6 - [h^3 \rho^5)/(15 R^3)]_0^R = $
$ = 2\pi[h^3 R^2/6 - [h^3 R^2)/15] = 1/5 \pi h^3 R^2 $
Naturalmente l'integrale inizialmente proposto si ottiene considerando $h = 1 $ e $R = 3 $, per cui risulta $9/5 \pi $.
Come ulteriore esercizio potresti provare a calcolare il volume del cono di altezza $h$ e raggio di base $R$:
$\int\int\int_V \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $V = {(x,y,z) \in \RR^3 : y >= h/R \sqrt(x^2+z^2), 0 <= y <= h} $
ciao pilloeffe
grazie per il tuo aiuto
lo svolgimento mi è chiaro, l'unica cosa non chiara sono gli estremi di integrazioni di $rho$ e di $y$.
per ricavare $h/R rho $ sostituisco con le coordinate cilindriche all'interno del dominio come deduco l'estremo di integrazione h?
grazie
grazie per il tuo aiuto
lo svolgimento mi è chiaro, l'unica cosa non chiara sono gli estremi di integrazioni di $rho$ e di $y$.
per ricavare $h/R rho $ sostituisco con le coordinate cilindriche all'interno del dominio come deduco l'estremo di integrazione h?
grazie
"cri98":
grazie per il tuo aiuto
Prego.
"cri98":
l'unica cosa non chiara sono gli estremi di integrazioni di $\rho $ e di $y$
Perché non hai fatto un disegno per renderti conto della situazione: prova a fare il disegno del cono con vertice nell'origine $O(0,0,0) $ avente asse $y$, altezza $h$ e raggio di base $R$. Osserva che nel piano $xy$ la retta che genera il cono con una rotazione completa attorno all’asse $y$ ha equazione $y = h/R x $: per $x = 0 $ si ottiene $y = 0$ e quindi si ritrova l'origine, per $x = R $ si ottiene $y = h $.
ciao pilloeffe,
grazie per la risposta, adesso mi è molto più chiaro.
ho provato a risolvere un esercizio simile:
$ intintint_(v)x^3dV $ dove $ V={(x,y,z):2x>=sqrt(y^2+z^2), 0<=x<=1}$
1)$ 4/3pi $
2)$ 2pi $
3)$ 8/3pi $
4)$ 2/3pi $
in questo caso considero l'asse di simmetria l'asse x
il dominio diventa:
$ V={(x,y,z):x>=R/hsqrt(y^2+z^2), 0<=x<=R}$
considero le coordinate cilindriche
$ int_(0)^(2pi)int_(0)^(h)rho drho int_(R/hrho)^(R)x^3 dx$
$ { ( x=x ),( y=rhosentheta ),( z=rhocostheta ):} $
svolgendo i calcoli ottengo:
$ 2/3 pi$
il procedimento è corretto?
Grazie
grazie per la risposta, adesso mi è molto più chiaro.
ho provato a risolvere un esercizio simile:
$ intintint_(v)x^3dV $ dove $ V={(x,y,z):2x>=sqrt(y^2+z^2), 0<=x<=1}$
1)$ 4/3pi $
2)$ 2pi $
3)$ 8/3pi $
4)$ 2/3pi $
in questo caso considero l'asse di simmetria l'asse x
il dominio diventa:
$ V={(x,y,z):x>=R/hsqrt(y^2+z^2), 0<=x<=R}$
considero le coordinate cilindriche
$ int_(0)^(2pi)int_(0)^(h)rho drho int_(R/hrho)^(R)x^3 dx$
$ { ( x=x ),( y=rhosentheta ),( z=rhocostheta ):} $
svolgendo i calcoli ottengo:
$ 2/3 pi$
il procedimento è corretto?
Grazie
"cri98":
il procedimento è corretto?
No.
Mi risulta l'integrale seguente:
$ \int_0^(2\pi)\int_0^R \rho \text{d}\rho \int_(h/R \rho)^h x^3 \text{d}x $
ove $h = 1 $ e $R = 2 $, ma conviene tenersi $h $ e $R $ nel calcolo dell'integrale e poi alla fine sostituire i valori numerici di $h$ e $R$.
Pertanto si ha:
$ \int_0^(2\pi)\int_0^R \rho \text{d}\rho \int_(h/R \rho)^h x^3 \text{d}x = 2\pi \int_0^R \rho [x^4/4]_{h/R \rho}^h \text{d}\rho = 2 \pi \int_0^R [h^4/4 \rho - h^4/(4R^4)\rho^5] \text{d}\rho = $
$ = \pi h^4 \int_0^R [1/2 \rho - 1/(2R^4)\rho^5] \text{d}\rho = \pi h^4 [1/4 \rho^2 - 1/(12R^4)\rho^6]_0^R = \pi h^4 [1/4 R^2 - 1/(12) R^2] = 1/6 \pi h^4 R^2 $
Per $h = 1 $ e $R = 2 $ si ottiene $ 2/3 \pi $, pertanto la risposta corretta è la 4).
ciao pilloeffe,
ok grazie, adesso ho capito come procedere. ho risolto altri esercizi simili e non ho trovato difficoltà, l'unico in cui riscontro problemi e il seguente:
$intintint_(v)x dv $dove ${v>=sqrt(y^2+z^2)$, $ 0<=x<=1}$
ottengo come risultato$ 1/4 pi$ che non torna con i possibili risultati
1) $ 2pi $
2) $ 3pi $
3) $ pi $
4) $ 4pi $
ho risolto il seguente integrale:
$int_0^(2pi)int_(0)^(R)int_(h/(R)rho)^(h)x dx$
h=1
R=1
Grazie!
ok grazie, adesso ho capito come procedere. ho risolto altri esercizi simili e non ho trovato difficoltà, l'unico in cui riscontro problemi e il seguente:
$intintint_(v)x dv $dove ${v>=sqrt(y^2+z^2)$, $ 0<=x<=1}$
ottengo come risultato$ 1/4 pi$ che non torna con i possibili risultati
1) $ 2pi $
2) $ 3pi $
3) $ pi $
4) $ 4pi $
ho risolto il seguente integrale:
$int_0^(2pi)int_(0)^(R)int_(h/(R)rho)^(h)x dx$
h=1
R=1
Grazie!
Scrivi bene, se no ti sbagli...
Vuoi dire
$\int\int\int_v x \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $v = {(x,y,z) \in \RR^3: x >= sqrt(y^2+z^2), 0 <= x <= 1} $
In tal caso dopo la trasformazione in coordinate cilindriche l'integrale da risolvere è il seguente:
$\int_0^(2pi) \text{d}\theta \int_0^R \int_(h/R \rho)^h x \text{d}x \rho \text{d}\rho $
con $h = R = 1 $. Si ha:
$\int_0^(2pi) \text{d}\theta \int_0^R \int_(h/R \rho)^h x \text{d}x \rho \text{d}\rho = 2\pi \int_0^R [x^2/2]_{h/R \rho}^h \rho \text{d}\rho = 2\pi \int_0^R [h^2/2 \rho - h^2/(2R^2) \rho^3] \text{d}\rho =$
$ = \pi h^2 \int_0^R [\rho - 1/(R^2) \rho^3] \text{d}\rho = \pi h^2 [\rho^2/2 - 1/(4R^2) \rho^4]_0^R = 1/4 \pi h^2 R^2 $
Per cui per $h = R = 1 $ anche a me risulta $1/4 \pi $
Vuoi dire
$\int\int\int_v x \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $v = {(x,y,z) \in \RR^3: x >= sqrt(y^2+z^2), 0 <= x <= 1} $
In tal caso dopo la trasformazione in coordinate cilindriche l'integrale da risolvere è il seguente:
$\int_0^(2pi) \text{d}\theta \int_0^R \int_(h/R \rho)^h x \text{d}x \rho \text{d}\rho $
con $h = R = 1 $. Si ha:
$\int_0^(2pi) \text{d}\theta \int_0^R \int_(h/R \rho)^h x \text{d}x \rho \text{d}\rho = 2\pi \int_0^R [x^2/2]_{h/R \rho}^h \rho \text{d}\rho = 2\pi \int_0^R [h^2/2 \rho - h^2/(2R^2) \rho^3] \text{d}\rho =$
$ = \pi h^2 \int_0^R [\rho - 1/(R^2) \rho^3] \text{d}\rho = \pi h^2 [\rho^2/2 - 1/(4R^2) \rho^4]_0^R = 1/4 \pi h^2 R^2 $
Per cui per $h = R = 1 $ anche a me risulta $1/4 \pi $
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