Esercizio integrale triplo
Come si svolge il seguente esercizio?
Calcolare $ int_(A)^()(x^3+1) dx dy dz $
dove $ A={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=4, x>=1} $
provando ad utilizzare le coordinate sferiche non sono riuscita a trovare gli estremi di integrazione
Calcolare $ int_(A)^()(x^3+1) dx dy dz $
dove $ A={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=4, x>=1} $
provando ad utilizzare le coordinate sferiche non sono riuscita a trovare gli estremi di integrazione
Risposte
Prova a vedere la sezione sul piano xy per capire quali sono gli estremi di integrazione. In questo piano hai una circonferenza di raggio 2, tagliata dalla retta verticale $x=1$ e devi considerare il segmento circolare corrispondente. Questo si ottiene per i valori di $theta$ compresi tra $-\pi/3$ e $\pi/3$ e per i valori di $\rho$ tra $1$ e $2$.
Cosa succede a tre dimensioni? La situazione è analoga, ma hai un piano che taglia la sfera, creando un segmento sferico. La base del segmento sferico è la base di un cono con vertice nell'origine e inclinazione di $\pi/3$ rispetto al suo asse (che è l'asse x). Adesso allora si ha di nuovo $\rho$ compreso tra $1$ e $2$. Supponendo che $\theta$ sia la longitudine (con valore 0 corrispondente all'asse x) e $\phi$ la colatitudine, hai che $\theta in (-\pi/3, \pi/3)$ e che $\phi \in (\pi/6, \frac{5}{6}\pi)$
Cosa succede a tre dimensioni? La situazione è analoga, ma hai un piano che taglia la sfera, creando un segmento sferico. La base del segmento sferico è la base di un cono con vertice nell'origine e inclinazione di $\pi/3$ rispetto al suo asse (che è l'asse x). Adesso allora si ha di nuovo $\rho$ compreso tra $1$ e $2$. Supponendo che $\theta$ sia la longitudine (con valore 0 corrispondente all'asse x) e $\phi$ la colatitudine, hai che $\theta in (-\pi/3, \pi/3)$ e che $\phi \in (\pi/6, \frac{5}{6}\pi)$
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