Esercizio integrale triplo
Ciao a tutti, ho alcuni problemi con questo esercizio.
Calcolare $\int int int zsqrt(x^2+y^2)dxdydz$ in cui V è la parte di volume $2z>=x^2+y^2$ che si proietta nella corona circolare di raggi $r=1$ e $R=4$ le cui quote sono minori di $2$.
Ho scritto il dominio
$V={(x,y,z)in RR^3 : 2z<=x^2+y^2, z<2, 1<=x^2+y^2<=2}$
In coordinate cilindriche:
$\1<=rho<=4, 0<=theta<=2pi, (rho^2-1)/2<=z<=(rho^2-2)/2$
Non so se sia giusto, poi come dovrei continuare l'esercizio?
Calcolare $\int int int zsqrt(x^2+y^2)dxdydz$ in cui V è la parte di volume $2z>=x^2+y^2$ che si proietta nella corona circolare di raggi $r=1$ e $R=4$ le cui quote sono minori di $2$.
Ho scritto il dominio
$V={(x,y,z)in RR^3 : 2z<=x^2+y^2, z<2, 1<=x^2+y^2<=2}$
In coordinate cilindriche:
$\1<=rho<=4, 0<=theta<=2pi, (rho^2-1)/2<=z<=(rho^2-2)/2$
Non so se sia giusto, poi come dovrei continuare l'esercizio?
Risposte
Ciao,
ad uno sguardo veloce mi sembra che il dominio sia corretto a meno di un segno in quanto tu hai scritto
$2z <= x^2+y^2$
invece credo che sia
$2z >= x^2+y^2$
in qualsiasi caso ti suggerirei si aspettare persone più quotate di me per sapere se il dominio è giusto.
Rispondo invece alla tua seconda domanda, ovvero "... e poi come procedo?"
non è molto difficile da qui in poi
per prima cosa ricorda che quando fai un cambio di coordinate, devi moltiplicare la funzione integranda per il determinante della matrice Jacobiana.
la matrice Jacobiana è una matrice formata da tutte le derivate parziali della trasformazione ovvero:
la tua trasformazione è data da
${ ( x=rho cos varphi ),( y=>rho sin varphi ),( z=z ):}$
pertanto la matrice jacobiana (che chiamiamo affettuosamente $J$) sarà:
$J = | ( (partial x)/(partial rho) , (partial x)/(partial varphi) , (partial x)/(partial z) ),( (partial y)/(partial rho) , (partial y)/(partial varphi) , (partial y)/(partial z) ),( (partial z)/(partial rho) , (partial z)/(partial varphi) , (partial z)/(partial z) ) | = | ( (partial rho cos varphi)/(partial rho) , (partial rho cos varphi)/(partial varphi) , (partial rho cos varphi)/(partial z) ),( (partial rho sin varphi)/(partial rho) , (partial rho sin varphi)/(partial varphi) , (partial rho sin varphi)/(partial z) ),( (partial z)/(partial rho) , (partial z)/(partial varphi) , (partial z)/(partial z) ) | = | ( cos varphi , -rho sin varphi , 0 ),( sin varphi , rho cos varphi , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) |$
il cui determinante quindi è:
$|J| = 1\cdot (cos varphi \cdot rho cos varphi - (sin varphi \cdot -rho sin varphi) = rho cos^2 varphi + rho sin^2 varphi = rho (cos^2 varphi + sin^2 varphi) = rho$
a questo punto, applicando il cambio di sistema di riferimento anche all'interno dell'integrale, questo diventa
$int int int z rho sqrt(rho) d rho d varphi dz = int int int z rho^(3/2) d rho d varphi dz $
infine consideri gli estremi di integrazione che hai ricavato prima e ottieni
$ int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_0^(2 pi) int_1^4 z rho^(3/2) d rho d varphi dz $
inoltre, siccome non hai $varphi$ all'interno dell'integrale, puoi trasformarlo in
$ int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_0^(2 pi) int_1^4 z rho^(3/2) d rho d varphi dz = int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_1^4 z rho^(3/2) d rho dz \cdot \underbrace{int_0^(2 pi) d varphi}_{=2 pi} = 2 pi int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_1^4 z rho^(3/2) d rho dz$
pertanto il tutto si riduce ad un integrale doppio
ad uno sguardo veloce mi sembra che il dominio sia corretto a meno di un segno in quanto tu hai scritto
$2z <= x^2+y^2$
invece credo che sia
$2z >= x^2+y^2$
in qualsiasi caso ti suggerirei si aspettare persone più quotate di me per sapere se il dominio è giusto.
Rispondo invece alla tua seconda domanda, ovvero "... e poi come procedo?"
non è molto difficile da qui in poi
per prima cosa ricorda che quando fai un cambio di coordinate, devi moltiplicare la funzione integranda per il determinante della matrice Jacobiana.
la matrice Jacobiana è una matrice formata da tutte le derivate parziali della trasformazione ovvero:
la tua trasformazione è data da
${ ( x=rho cos varphi ),( y=>rho sin varphi ),( z=z ):}$
pertanto la matrice jacobiana (che chiamiamo affettuosamente $J$) sarà:
$J = | ( (partial x)/(partial rho) , (partial x)/(partial varphi) , (partial x)/(partial z) ),( (partial y)/(partial rho) , (partial y)/(partial varphi) , (partial y)/(partial z) ),( (partial z)/(partial rho) , (partial z)/(partial varphi) , (partial z)/(partial z) ) | = | ( (partial rho cos varphi)/(partial rho) , (partial rho cos varphi)/(partial varphi) , (partial rho cos varphi)/(partial z) ),( (partial rho sin varphi)/(partial rho) , (partial rho sin varphi)/(partial varphi) , (partial rho sin varphi)/(partial z) ),( (partial z)/(partial rho) , (partial z)/(partial varphi) , (partial z)/(partial z) ) | = | ( cos varphi , -rho sin varphi , 0 ),( sin varphi , rho cos varphi , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) |$
il cui determinante quindi è:
$|J| = 1\cdot (cos varphi \cdot rho cos varphi - (sin varphi \cdot -rho sin varphi) = rho cos^2 varphi + rho sin^2 varphi = rho (cos^2 varphi + sin^2 varphi) = rho$
a questo punto, applicando il cambio di sistema di riferimento anche all'interno dell'integrale, questo diventa
$int int int z rho sqrt(rho) d rho d varphi dz = int int int z rho^(3/2) d rho d varphi dz $
infine consideri gli estremi di integrazione che hai ricavato prima e ottieni
$ int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_0^(2 pi) int_1^4 z rho^(3/2) d rho d varphi dz $
inoltre, siccome non hai $varphi$ all'interno dell'integrale, puoi trasformarlo in
$ int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_0^(2 pi) int_1^4 z rho^(3/2) d rho d varphi dz = int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_1^4 z rho^(3/2) d rho dz \cdot \underbrace{int_0^(2 pi) d varphi}_{=2 pi} = 2 pi int_((rho^2-1)/2)^((rho^2-2)/2) int_1^4 z rho^(3/2) d rho dz$
pertanto il tutto si riduce ad un integrale doppio
Grazie,si nel dominio era maggiore. Solo una cosa quando applico il nuovo sistema di riferimento all'interno dell'integrale dovrei avere
$\int int int zrho sqrt(rho^2) drho d\theta dz$ non mi torna il $rho$ sotto la radice a me risulta $rho^2$ o sbaglio?
$\int int int zrho sqrt(rho^2) drho d\theta dz$ non mi torna il $rho$ sotto la radice a me risulta $rho^2$ o sbaglio?
Ciao, si è vero ho sbagliato io
quindi hai
$int int int z rho sqrt(rho^2) d rho d varphi dz = int int int z \rho \cdot rho d rho d varphi dz = int int int z rho^2 d rho d varphi dz$
quindi hai
$int int int z rho sqrt(rho^2) d rho d varphi dz = int int int z \rho \cdot rho d rho d varphi dz = int int int z rho^2 d rho d varphi dz$
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