Esercizio integrale indefinito

[Jek1]

L'integrale in questione è questo:
$\int sqrt(4-9x^2)dx$
Io ho fatto così:
$\int sqrt(4-9x^2)dx$$=$$\int 2sqrt(1-9/4x^2)dx$$=2$$\int sqrt(1-9/4x^2)dx$
A questo punto pongo:
$9/4x^2=t^2$ da cui $dx=2/3dt$ da cui ottengo:
$4/3$$\int sqrt(1-t^2) dt$
La prima cosa istintiva che verrebbe in mente è quella di risolverlo per parti:
$4/3$$\int sqrt(1-t^2) dt$$=$$4/3$$\int 1*sqrt(1-t^2) dt$$=$$4/3 t*sqrt(1-t^2)$$+4/3$$\int t^2*1/sqrt(1-t^2)$

Non so come risolvere l'ultimo integrale; risolvendolo per parti non arrivo da nessuna parte. Come fare?

[Sk_Anonymous]

Il calcolo delle seguenti primitive \[\displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}} \; dx \] può essere effettuato mediante la sostituzione \(\displaystyle x=\sin t \). In tal caso si ottiene \[\displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}} \; dx=\int \cos^{2} t \; dt \] da cui, operando per parti \[\displaystyle \int \cos^{2} t \; dt=\sin t \cos t + \int \sin^2 t \; dt =\sin t \cos t + \int (1-\cos^2 t) \; dt \] per facilmente concludere che \[\displaystyle \int \cos^{2} t \; dt=\frac{1}{2} \left[\sin t \cos t + t \right] +c\]

[Lorin1]

scusa ma se $9/4x^2=t $ allora il radicando è $sqrt(1-t)$

[Jek1]

"Lorin":scusa ma se $9/4x^2=t $ allora il radicando è $sqrt(1-t)$

Scusami, errore mio.
$9/4x^2=t^2 $

[Lorin1]

comunque conviene che segui il suggerimento di Delirium

[yex1]

io farei così:
$ \int sqrt(4-9x^2) dx =2 \int sqrt (1-9/4 x^2) dx $,applicherei la sostituzione $ t^2=9/4 x^2 $ dove $ t=3/2x $ .

dove avrò

$ 4/3 \int sqrt(1-t^2)dt $

Ora, ricordando la primitiva di
$\int sqrt(1-t^2)dt =\int cos^2h dh$

l'integrale sarà uguale a

$ 4/3 \int cos^2h dh $

dove

$ h=(arcsent) $

Operando per parti,ho

$ 4/3 \int cos^2h dh = 4/3 [1/2(senh*cosh+h)]+c$

Fatto questo,dovresti avere il risultato.

[baldo891]

da cui, operando per parti

Non è il metodo più veloce! usando le formule di bisezione del coseno si fa molto prima...provare per credere

[Jek1]

Intendi le formule parametriche.
$cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ con $t=tan (x/2)$
Però come si ottiene $dx$?

[melli13]

Ricavandoti $x=2 arctg(t)$ e facendo quindi la derivata di $x$ ottieni $dx=2dt/(t^2+1)$

[baldo891]

dici a me? comunque..
$cos^2(x)=1/2+cos(2x)/2$

[yex1]

si,può andare anche così!