Esercizio integrale improprio

[marty.nani1]

Buongiorno,
non riesco a stabilire se questi integrali convergono o divergono, perché non ho ben chiaro a cosa deve essere asintotico il denominatore nei vari casi.
- $ lim_(y -> 0) int_(k)^(y) 1/(x*(x-1)^(1/3) dx $
- $ lim_(y -> 1) int_(k)^(y) 1/(x*(x-1)^(1/3) dx $
- $ lim_(y -> prop ) int_(k)^(y) 1/(x*(x-1)^(1/3) dx $
- $ lim_(y -> -prop ) int_(k)^(y) 1/(x*(x-1)^(1/3) dx $
Grazie in anticipo.

[anto_zoolander]

ti interessa solo calcolarne la convergenza?

[marty.nani1]

"anto_zoolander":ti interessa solo calcolarne la convergenza?

Si, solo la convergenza. k è un parametro.

[anto_zoolander]

allora intanto definisco per comodità questa cosa:

$S={cinRR:lim_(x->c)f(x)=f(c)}$ e pongo $kinS$

in poche parole ho fatto questo per dire che comunque prendo $k$, $f(x)$ è continua in esso. Giusto per non dovermi preoccupare pure del secondo estremo.

$lim_(y->+infty)int_(k)^(y)1/(x(x-1)^(1/3)dx$

ora $(x-1)^(1/3)$\(\displaystyle \sim \)$x^(1/3)$ per $x->pminfty$

in generale l'infinito equivalente di $(x^m-1)^(1/n)$ dove $n ne0$ è $x^(m/n)$

$lim_(y->+infty)int_(k)^(y)1/(x(x)^(1/3))dx=lim_(y->+infty)int_(k)^(y)1/(x^(4/3))dx$ che converge

ora per $x->1$ nota che $1/x$\(\displaystyle \sim \)$1$

$lim_(y->1)int_(k)^(y)1/(x(x-1)^(1/3))dx=lim_(y->1)int_(k)^(y)1/(x-1)^(1/3)dx=lim_(y->1)int_(k)^(y)(x-1)^(-1/3)dx$

$lim_(y->1)[3/2*(x-1)^(2/3)]_(k)^(y)$ e converge.

l'altro caso è praticamente lo stesso.