Esercizio integrale improprio

[HelpThermoo]

Risalve...
volevo discutere lo svolgimento di questo esercizio...visto che non ne sono sicuro :

$ int_(0)^(1) [sqrt(1-x^2)dx]/[|log(x)| sen^ax] $

Allora i problemi sono sia in 0 che in 1 ;
in 0 non ho avuto problemi...
ma in un intorno di 1 , come ragiono?
ho provato ad approssimare $ |log(x)| $
a $ | x - 1| $
perchè pensavo di ricondurmi ad un integrale notevole...ma boh...
ripeto , in 0 le stime asintotiche sono facili , sia arriva subito alla conclusione che l'integrale converge per $ a<1 $

(che poi è la soluzione) ; Però non riesco a discuterne il comportamento in un intorno di 1 ...
Help!

[Camillo]

Prova a riconsiderare il numeratore come $sqrt (1-x^2) =sqrt((1-x)(1+x)) $ che in un intorno di $x=1 $ è asintotico a $sqrt(2)*(1-x)^(1/2)$ e proseguire così

[HelpThermoo]

esatto! io così ho provato..però i calcoli non mi vengono ....perchè al denominatore avrei :

$|x-1|$

come faccio a semplificare per ricondurmi a una forma "conosciuta"?

[Camillo]

Non devi calcolare il valore dell'integrale definito ma solo dire se converge ?
se così è la funzione integranda nell'intorno di $x=1 $ è asintotica a $ k/(1-x)^(1/2)$ e quindi converge, torna il risultato ?

[HelpThermoo]

non troppo...ma per mie lacune xD

Allora io ci sto che il numeratore è asintotico a :

$ sqrt2*(1-x)^(1/2) $

per x ----> 1

mentre il denominatore?

$ |logx| ~ |x-1| $

giusto?
Il seno lo trascuro , visto che tende a un numero , tipo sen(1)

però anche così , io mi trovo in una situazione in cui la funzione è asintotica a :

$[ sqrt2*(1-x)^(1/2)]/|x-1| $

e qua mi blocco...perchè quel modulo rompe le scatole...


Edit::


Come non detto!

Forse ho capito...

$ |x-1| = 1 - x $

perchè mi avvicino ad uno da sinistra , cioè da x < 1 , quindi il modulo è "cambiato di segno" (scusa la brutalità)..
e così mi viene il risultato ricercato , quello che dicevi tu xD

[Camillo]

OK quindi in conclusione è integrabile se $a < 1 $ il che è dovuto al comportamento in $x=0 $ mentre in $x=1 $ non ci sono problemi.