Esercizio integrale improprio .

[HelpThermoo]

$ int_(0)^(+oo) [sen(x)]/[x^2 + x^3] dx $

Dunque devo verificare se converge in senso assoluto .

Teoricamente la risposta che da il libro è : non c'è convergenza assoluta .

Allora io ho spezzato l'integrale di partenza in :

$ int_(0)^(1) [| sen(x)| ]/[x^2 + x^3] dx $ (1) ;
$ int_(1)^(oo) [| sen(x)| ]/[x^2 + x^3] dx $ (2) ;

Per il primo ho notato che in quell'intervallo la funzione è a termini positivi , quindi si può togliere il modulo .
E ho provato a usare il criterio del confronto asintotico , anche se non penso l'abbia fatto nel modo giusto :


$ [sen(x)] /[x^2 + x^3] ~ x/x^2 = 1/x $

Non so se è giusto , ho pensato che in un intorno di 0 , $ sen(x) $ fosse asintotico a $ x $
mentre $ 1/[x^2 + x^3] $ fosse asintotico a $ 1/(x^2) $
Però così facendo posso comunque dire che $ 1/x $ diverge? E quindi concludere che anche la funzione di partenza lo fa?
Perchè questo è il caso dell'esponente uguale ad 1 , quindi non sono sicuro che basti vedere se la funzione integranda diverge o meno .

Per il secondo integrale invece ho usato le maggiorazioni :

$ int_(1)^(oo) | sin(x)| /[x^2 + x^3] dx rarr | sin(x)| /[x^2 + x^3] <= 1/(x^2 + x^3) <= 1/x^2 $

Ora.. teoricamente avendo usato il criterio del confronto , ed essendo 2>1 ( xD) l'integrale dovrebbe convergere , giusto?

Spero possiate dargli una guardata e dirmi dove ho sbagliato , perchè non sono affatto convinto .
Comunque se fosse giusto il procedimento dovrei concludere che la funzione di partenza non è proprio integrabile nell'intervallo richiesto , e neanche in senso assoluto ?

Grazie in anticipo.

[porzio1]

come tu hai detto,$(senx)/(x^2+x^3)$ è positivo in $(0,1]$,ed è un infinito di ordine 1 per $xrarr0$
ciò è sufficiente per dire che la funzione non è integrabile in $(0,1]$

[HelpThermoo]

Non ho capito scusami , puoi spiegarmi meglio il concetto?

Ps , comunque in generale è giusto lo svolgimento?

[porzio1]

in generale,se hai una funzione non negativa definita in $(a,b]$ ,che sia un infinito di ordine maggiore o uguale a 1 per $xrarra^(+)$,essa non è integrabile in $(a,b]$

[HelpThermoo]

Hmm continuo a non afferrare proprio... Come riesci a dire che è un infinito di ordine 1 ?

[porzio1]

perchè

$lim_{x \to 0} ((senx)/(x^2+x^3))/(1/x)=lim_{x \to 0}(xsenx)/(x^2(1+x))=lim_{x \to 0}(senx)/x1/(1+x)=1$

buonanotte

[HelpThermoo]

ahh ho capito! infatti guardando su internet ho visto lo stesso ragionamento :
In quell'intervallo , e soprattutto in un intorno di 0 , Tale funzione è asintotica a $ 1/x $
come tu hai dimostrato sopra , quindi vuol dire che anche gli integrali si comportano nello stesso modo , ovvero
divergono .
Grande!