Esercizio integrale improprio
Salve a tutti,
ho un dubbio su questo esercizio:
Determinare l'insieme $E sube RR$ nel quale il seguente integrale improprio è assolutamente convergente:
$F(t) = \int_0^(infty)logx/(1+x^2+t^2)dx$
All'infinito va come $logx/x^2$ , che va più velocemente di $1/x$ , e quindi converge; ma su 0 ? Ho chiesto al mio professore, e mi ha risposto che va come $logx$ , e io gli ho detto: "ma allora non diverge a $-infty$ " ? E lui mi ha risposto di no perché devo prenderne il valore assoluto perché cerco la convergenza assoluta. Ma non sono ancora convinta, se prendo il valore assoluto non va comunque a $+infty$?
Grazie in anticipo!
Valentina
ho un dubbio su questo esercizio:
Determinare l'insieme $E sube RR$ nel quale il seguente integrale improprio è assolutamente convergente:
$F(t) = \int_0^(infty)logx/(1+x^2+t^2)dx$
All'infinito va come $logx/x^2$ , che va più velocemente di $1/x$ , e quindi converge; ma su 0 ? Ho chiesto al mio professore, e mi ha risposto che va come $logx$ , e io gli ho detto: "ma allora non diverge a $-infty$ " ? E lui mi ha risposto di no perché devo prenderne il valore assoluto perché cerco la convergenza assoluta. Ma non sono ancora convinta, se prendo il valore assoluto non va comunque a $+infty$?
Grazie in anticipo!
Valentina
Risposte
Eh no!
Cerco solo di convincerti che l'integrale converga, ma lascio a te da farlo vedere coi conti: la funzione \(f(x) = \ln x\) e la funzione \(g(x) = e^x\) sono una l'inversa dell'altra, quindi i loro grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y = x\). Per questioni geometriche vedi allora che l'area sottesa dal grafico di \(f\) in \((0,1]\) è uguale [a meno del segno] all'area sottesa dal grafico di \(g\) in \((-\infty,0]\).
Quest'ultima vale
\[
\int_{-\infty}^0 e^x \ dx = 1
\]
e quindi
\[
\int_0^1 \ln x \ dx = \pm 1.
\]
Cerco solo di convincerti che l'integrale converga, ma lascio a te da farlo vedere coi conti: la funzione \(f(x) = \ln x\) e la funzione \(g(x) = e^x\) sono una l'inversa dell'altra, quindi i loro grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y = x\). Per questioni geometriche vedi allora che l'area sottesa dal grafico di \(f\) in \((0,1]\) è uguale [a meno del segno] all'area sottesa dal grafico di \(g\) in \((-\infty,0]\).
Quest'ultima vale
\[
\int_{-\infty}^0 e^x \ dx = 1
\]
e quindi
\[
\int_0^1 \ln x \ dx = \pm 1.
\]
Forse è $-1$ l'ultimo risultato...
Questo lo sapevo anche io 
L'ho volutamente omesso perché di quello che ho scritto conta il ragionamento, non il risultato!
La domanda era «quell'integrale converge?»; la risposta è stata «anche senza fare i conti, ti faccio vedere che converge».
A voi matematici dovrebbero piacere queste finezze
L'ho volutamente omesso perché di quello che ho scritto conta il ragionamento, non il risultato!
La domanda era «quell'integrale converge?»; la risposta è stata «anche senza fare i conti, ti faccio vedere che converge».
A voi matematici dovrebbero piacere queste finezze
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