Esercizio - Integrale generalizzato

[Seneca1]

Vorrei una semplice conferma.

Sto studiando il comportamento all'infinito della funzione integrale $F(x) = int_0^(x^3 - x) 1/(ln( t^4 + 3 )) dt$

$lim_(x -> +oo) F(x) = int_0^(+oo) 1/(ln( t^4 + 3 )) dt$

A questo punto so che $ln( t^4 + 3 ) sim ln( t^4 ) = 4 ln (t)$ per $t -> +oo$.

Allora: $int_0^(+oo) 1/(ln( t^4 + 3 )) dt$ ha lo stesso comporrtamento di $1/4 * int_0^(+oo) 1/(ln( t )) dt$ è corretto?

A questo punto so che $lim_(t -> +oo) (log(t))/t = 0$, quindi $(log(t))/t$ è limitata. Vale a dire che $EE M > 0$ tale che:

$|(log(t)) * 1/t| <= M$

Per $t > 1$ : $1/M * 1/t <= 1/(log(t))$

$1/M * 1/t$ è una funzione a integrale divergente, quindi $int_0^(+oo) 1/(ln( t^4 + 3 )) dt = +oo$.

E' corretto usare la monotonia nel seguente modo? $1/M * 1/t <= 1/(log(t))$ $Rightarrow$ $int_2^(z) 1/M * 1/t dt <= int_2^(z) 1/(log(t)) dt$

$Rightarrow$ $int_2^(+oo) 1/M * 1/t dt <= int_2^(+oo) 1/(log(t)) dt$ per $z -> +oo$

[Seneca1]

Effettuo un up, sperando nell'aiuto di qualcuno.

[dissonance]

MMhh, come l'hai fatta lunga. Il discorso è giusto, comunque. Ma bastava fare direttamente un rapido confronto con $1/t$ per mostrare che l'integrale è divergente.

[Seneca1]

Non mi piace essere prolisso, mami serviva capire se il ragionamento di fondo è corretto. Grazie.