Esercizio - integrale fratto per la sua derivata!

[ansioso]

$int_{}^{} \frac{3x+2x}{5-x^2+x^3}log(5-x^2+x^3) dx=1/2 log^2(5-x^2+x^3)+c$

Questo è l'integrale e il relativo risultato riportato dal libro...

Osservandolo noto che è del tipo $int_{}^{} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}logf(x)$... integrali di questo tipo si risolvono tramite la formula $int_{}^{} nlog^nf(x)\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=log^(n+1)f(x)+c $

Se quando detto è vero... quel' "$1/2 log^2...$" da dove esce?

[Antimius]

Leggi bene la formula con $n=1$.
Comunque, dovrebbe essere $int_()^() (n+1)log^nf(x)*(f'(x))/f(x)dx=log^(n+1)f(x)+c

[ansioso]

la formula in mio possesso è quella che ho scritto... quindi sarà sbagliata giusto?

[Antimius]

Pensa ai seguenti passaggi: $D(log^(n+1)f(x))=(n+1)log^nf(x)*D(logf(x))=(n+1)log^nf(x)*(Df(x))/f(x)$.
Per risolvere l'integrale ora, basta che ti aggiusti la costante davanti e hai fatto!

[darinter]

"ansioso":$int_{}^{} \frac{3x+2x}{5-x^2+x^3}log(5-x^2+x^3) dx=1/2 log^2(5-x^2+x^3)+c$

Questo è l'integrale e il relativo risultato riportato dal libro...

Osservandolo noto che è del tipo $int_{}^{} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}logf(x)$... integrali di questo tipo si risolvono tramite la formula $int_{}^{} nlog^nf(x)\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=log^(n+1)f(x)+c $

Se quando detto è vero... quel' "$1/2 log^2...$" da dove esce?

Forse hai sbagliato a scrivere il testo,dovrebbe essere $3x^2$ e non $3x$ al numeratore.