[Esercizio] Integrale, errori di calcolo
Buona sera e buon anno! 
Sto trovando difficoltà nel fare i calcoli di questo integrale:
Li risolvo in tutti i modi che mi vengono in mente, però, questa volta non me ne va bene manco uno:
Per sostituzione:
Osservo che $ 9x^2-6x+1=9(x-1/3)^2 $, e pertanto ho che $ 1/9 int (2x+1)/(x-1/3)^2 dx $.
Posto $x-1/3=t rArr x=t+1/3, dx=dt $,
Per decomposizione in somma (mi pare si chiami così
)
il mio problema è la seconda parte:
oppure
che sono entrambi sbagliati, ma non capisco dove sbaglio...](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Mi sfugge qualcosa, ma non riesco a riprenderla...
Sto trovando difficoltà nel fare i calcoli di questo integrale:
$ int(2x+1)/(9x^2-6x+1) dx $
Li risolvo in tutti i modi che mi vengono in mente, però, questa volta non me ne va bene manco uno:
Per sostituzione:
Osservo che $ 9x^2-6x+1=9(x-1/3)^2 $, e pertanto ho che $ 1/9 int (2x+1)/(x-1/3)^2 dx $.
Posto $x-1/3=t rArr x=t+1/3, dx=dt $,
$1/9 int (2t+2/3+1)/t^2 dt=1/9 int ( (2t)/t^2) dt+1/9 int (5/3)/(t^2) dt=$
$=1/9int (D(t^2))/(t^2) dt +5/27 int 1/t^2 dt=1/9 ln (t^2) -5/27 1/t=$
$=1/9 ln (x-1/3)^2-5/27 1/(x-1/3)+c $
$=1/9int (D(t^2))/(t^2) dt +5/27 int 1/t^2 dt=1/9 ln (t^2) -5/27 1/t=$
$=1/9 ln (x-1/3)^2-5/27 1/(x-1/3)+c $
Per decomposizione in somma (mi pare si chiami così
)$1/9 int (2x+1)/(x-1/3)^2 dx=1/9 int (2(x-1/3)^2+5/3)/(x-1/3)^2dx=1/9int(D(x-1/3)^2 +5/3)/((x-1/3)^2) dx=$
$=1/9 intD(x-1/3)^2/(x-1/3)^2 dx+1/9 int (5/3)/(x-1/3)^2 dx=1/9ln (x-1/3)^2+5/27 int 1/(x-1/3)^2dx=$
$=1/9 intD(x-1/3)^2/(x-1/3)^2 dx+1/9 int (5/3)/(x-1/3)^2 dx=1/9ln (x-1/3)^2+5/27 int 1/(x-1/3)^2dx=$
il mio problema è la seconda parte:
$+5/27 int 1/(x-1/3)^2dx=5/(27) int (x-1/3)^(-2) D(x-1/3)=5/27 1/(x-1/3)+c$
oppure
$+5/27 int 1/(3x-1)^2dx=5/(27*3) int (3x-1)^(-2) D(3x-1)=5/(27*3) 1/(3x-1)+c$
che sono entrambi sbagliati, ma non capisco dove sbaglio...
Mi sfugge qualcosa, ma non riesco a riprenderla...
Risposte
prova a scrivere direttamente l'integrando in questo modo
$2/3[((3x-1)+5/2)/(3x-1)^2]$
spezzando la frazione si hanno 2 integrali praticamente immediati (non disturbare inutilmente il metodo di sostituzione)
p.s. vedo che la quasi totalità degli studenti che postano sembra dimenticare che esistano gli integrali immediati
$2/3[((3x-1)+5/2)/(3x-1)^2]$
spezzando la frazione si hanno 2 integrali praticamente immediati (non disturbare inutilmente il metodo di sostituzione)
p.s. vedo che la quasi totalità degli studenti che postano sembra dimenticare che esistano gli integrali immediati
"quantunquemente":
p.s. vedo che la quasi totalità degli studenti che postano sembra dimenticare che esistano gli integrali immediati
L'ho fatto dopo nel secondo metodo: tramite la decomposizione per somma; la difficoltà, per me, è il secondo integrale:
$ 5/27 int 1/(x-1/3)^2dx=5/(27) int (x-1/3)^(-2) D(x-1/3)=- 5/27 1/(x-1/3)+c $
che però dovrebbe venire $ 5/27 int 1/(x-1/3)^2dx=- 5/9 1/(x-1/3)+c $, il $3$ numeratore non capisco da dove spunta fuori.
Se fosse
$ 5/(27) int 1/(3x-1)^2dx rArr 5/(27*3) int 3/(3x-1)^2dx =5/(27*3)int (3x-1)^(-2) D(3x-1)dx=5/(27*3) 1/(3x-1) +c$
in questa caso mi perdo un $9$.
facciamolo subito,che è meglio
$2/9int(3dx)/(3x-1)+5/9int(3x-1)^(-2)cdot3dx$
tutto qui
$2/9int(3dx)/(3x-1)+5/9int(3x-1)^(-2)cdot3dx$
tutto qui
"quantunquemente":
facciamolo subito,che è meglio
$2/9int(3dx)/(3x-1)+5/9int(3x-1)^(-2)cdot3dx$
tutto qui
Intendi questo: $5/9int(3dx)/(3x-1)=5/9int(3x-1)^(-2)cdot3dx$ ?
So che è una banalità ma non riesco a farmene una ragione.
Di $ 5/27 int 1/(3x-1)^2dx $ prendiamo l'integrale senza la costante:
$ int 1/(3x-1)^2dx $
per usare l'integrale immediato devo far apparire la derivata del denominatore moltiplicando dividendo per $3$, giusto?
$ 1/3 int 3/(3x-1)^2dx=1/3 int (D(3x-1))/(3x-1)^2 dx =1/3 int (3x-1)^(-2) D(3x-1) dx= - 1/3 1/(3x-1)$
che moltiplicato per la costante tralasciata, ottengo $- 1/(27*3) 1/(3x-1)$
Up
In alternativa puoi provare cosi:
$∫(2x+1)/(9x^2−6x+1)dx$
Si nota subito che la derivata del denominatore è: $ f'(x)= 18x - 6 $ dunque moltiplicando l'integrale per 9 si avrà $(1/9)∫(18x+9)/(9x^2−6x+1)dx$ ora sottraggo e sommo al nominatore il numero $15$, cioè:
$(1/9)∫(18x+9-15+15)/(9x^2−6x+1)dx$ e ottengo $(1/9)∫(18x-6+15)/(9x^2−6x+1)dx$. Ora spezzo l'integrale in $(1/9)∫(18x-6)/(9x^2−6x+1) + 15/(9x^2-6x+1)dx$. A questo punto spezzo l'integrale, il primo è immediato per quanto riguarda il secondo estraggo $15$ e noto che $9x^2-6x+1$ si può riscrivere come $(3x-1)^2$. Pongo $t=3x-1$ aggiusto i vari differenziali e anche il secondo diventa immediato. Se ho detto cose sbagliate corregetemi pure
$∫(2x+1)/(9x^2−6x+1)dx$
Si nota subito che la derivata del denominatore è: $ f'(x)= 18x - 6 $ dunque moltiplicando l'integrale per 9 si avrà $(1/9)∫(18x+9)/(9x^2−6x+1)dx$ ora sottraggo e sommo al nominatore il numero $15$, cioè:
$(1/9)∫(18x+9-15+15)/(9x^2−6x+1)dx$ e ottengo $(1/9)∫(18x-6+15)/(9x^2−6x+1)dx$. Ora spezzo l'integrale in $(1/9)∫(18x-6)/(9x^2−6x+1) + 15/(9x^2-6x+1)dx$. A questo punto spezzo l'integrale, il primo è immediato per quanto riguarda il secondo estraggo $15$ e noto che $9x^2-6x+1$ si può riscrivere come $(3x-1)^2$. Pongo $t=3x-1$ aggiusto i vari differenziali e anche il secondo diventa immediato. Se ho detto cose sbagliate corregetemi pure
Ciao... io lo farei per decomposizione in fratti semplici:
$ int(2x+1)/(9x^2-6x+1) dx= $
Guardiamo un attimo il denominatore:
$ 9x^2-6x+1=(3x-1)^2 $
L'equazione associata ammette come radice (con molteplicità 2) $ x=1/3 $. Quindi possiamo scrivere:
$ (2x-1)/(3x-1)^2=A/(3x-1)+ B/((3x-1)^2)= (3Ax-A+B)/((3x-1)^2) $
da cui, per il principio di identità dei polinomi si ha:
$ { ( 3A=2 ),( -A+B=1 ):} $
e con semlici passaggi:
$ { ( A=2/3 ),( B=5/3 ):} $
Possiamo dunque dire che:
$ (2x-1)/(3x-1)^2=A/(3x-1)+ B/((3x-1)^2)= (2/3)/(3x-1)+(5/3)/(3x-1)^2 $
da cui l'integrale:
$ int(2x+1)/(9x^2-6x+1) dx=2/3int(1)/(3x-1)dx+5/3int(1)/((3x-1)^2)dx $
Dovresti saperli risolvere... sono immediati.
$ int(2x+1)/(9x^2-6x+1) dx = 2/9log|3x-1|-5/9(1)/(3x-1)+C $
se i miei conti sono corretti!
$ int(2x+1)/(9x^2-6x+1) dx= $
Guardiamo un attimo il denominatore:
$ 9x^2-6x+1=(3x-1)^2 $
L'equazione associata ammette come radice (con molteplicità 2) $ x=1/3 $. Quindi possiamo scrivere:
$ (2x-1)/(3x-1)^2=A/(3x-1)+ B/((3x-1)^2)= (3Ax-A+B)/((3x-1)^2) $
da cui, per il principio di identità dei polinomi si ha:
$ { ( 3A=2 ),( -A+B=1 ):} $
e con semlici passaggi:
$ { ( A=2/3 ),( B=5/3 ):} $
Possiamo dunque dire che:
$ (2x-1)/(3x-1)^2=A/(3x-1)+ B/((3x-1)^2)= (2/3)/(3x-1)+(5/3)/(3x-1)^2 $
da cui l'integrale:
$ int(2x+1)/(9x^2-6x+1) dx=2/3int(1)/(3x-1)dx+5/3int(1)/((3x-1)^2)dx $
Dovresti saperli risolvere... sono immediati.
$ int(2x+1)/(9x^2-6x+1) dx = 2/9log|3x-1|-5/9(1)/(3x-1)+C $
se i miei conti sono corretti!
alfy posso farti una domanda? quando hai scomposto l'integranda in $A/(3x−1)+B/(3x−1)^2$ come mai hai posto $B$ e non $Bx+C$. Il numeratore non dovrebbe essere di un grado minore del denominatore? Mi scuso in anticipo per l'OT
"Volt":
alfy posso farti una domanda? quando hai scomposto l'integranda in $A/(3x−1)+B/(3x−1)^2$ come mai hai posto $B$ e non $Bx+C$. Il numeratore non dovrebbe essere di un grado minore del denominatore? Mi scuso in anticipo per l'OT
Se è $ Δ = 0 $ un polinomio di secondo grado ammette due radici reali coincidenti $ x_1 = x_2=x_0 $ e dunque esistono due costanti reali $ A $ e $ B $ tali che:
$ (a_1x+a_0)/(x^2+b_1x+b_0)=A/(x-x_0)+B/((x-x_0)^2) $
Grande grazie mille
Intanto ringrazio tutti l'aiuto, e alfy per la dritta sulla scomposizione.
Se è $ Δ = 0 $ un polinomio di secondo grado ammette due radici reali coincidenti $ x_1 = x_2=x_0 $ e dunque esistono due costanti reali $ A $ e $ B $ tali che:
$ (a_1x+a_0)/(x^2+b_1x+b_0)=A/(x-x_0)+B/((x-x_0)^2) $
[/quote]
Quello che non mi tornava è che, fino alla penultima riga, mi veniva lo stesso procedimento del libro [nota]$[...] + 5/27 int 1/(x-1/3)^2dx$[/nota],
poi però all'ultima riga a me veniva $-5/27 1/(x-1/3)+c$; mentre il libro riportava $-5/9 int 1/(3x-1) +c$.
In poche parole io credevo che $\text{( 1 )} int 1/(x-1/3)^2 = \text{( 2 )} int 1/(3x-1)^2$.
Invece
mentre non capisco perché
"Alfy88":
[quote="Volt"]alfy posso farti una domanda? quando hai scomposto l'integranda in $A/(3x−1)+B/(3x−1)^2$ come mai hai posto $B$ e non $Bx+C$. Il numeratore non dovrebbe essere di un grado minore del denominatore? Mi scuso in anticipo per l'OT
Se è $ Δ = 0 $ un polinomio di secondo grado ammette due radici reali coincidenti $ x_1 = x_2=x_0 $ e dunque esistono due costanti reali $ A $ e $ B $ tali che:
$ (a_1x+a_0)/(x^2+b_1x+b_0)=A/(x-x_0)+B/((x-x_0)^2) $
[/quote]------------------------------------------------------------------------
Quello che non mi tornava è che, fino alla penultima riga, mi veniva lo stesso procedimento del libro [nota]$[...] + 5/27 int 1/(x-1/3)^2dx$[/nota],
poi però all'ultima riga a me veniva $-5/27 1/(x-1/3)+c$; mentre il libro riportava $-5/9 int 1/(3x-1) +c$.
In poche parole io credevo che $\text{( 1 )} int 1/(x-1/3)^2 = \text{( 2 )} int 1/(3x-1)^2$.
Invece
$ \text{( 2 )} int 1/(3x-1)^2=1/3 int(3x-1)^(-2) D(3x-1)dx=-1/3 * 1/(3x-1)+c$
mentre non capisco perché
$\text{( 1 )} int 1/(x-1/3)^2 \text{ dovrebbe essere }=-3/(3x-1) +c$.
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