Esercizio Integrale Doppio/Triplo/Superficie
Ciao ragazzi, questo forum mi sta salvando la vita perchè altrimenti non saprei a chi chiedere quando ho dei dubbi su alcuni esercizi. In particolare in questi ultimi giorni non sono riuscito a risolvere questi 3 :
1) Calcolare il flusso tra { 4x+2y+z=1, x^2+y^2<=9}. Cioè in questo caso io non posso usare il teorema della divergenza in quando non parliamo di un solido ma di una circonferenza su xy e un piano giusto?
Io pensavo di parametrizzare tale superficie nella forma r(u,v) = u (i) + v(j) + (1-4u-2v) (k) . Calcolare r(u) x r(v) e sostituire nella formula del flusso. Ma come estremi di integrazione dell'integrale doppio cosa utilizzo? Questo è il mio dubbio!
2) Integrale doppio I= (x^2 - y^2) ^1/2 sul trapezio di vertici (1,-1) , (1,1) , (2,-2) , (2,2) . Ho disegnato il dominio e ho visto che è simmetrico rispetto all'asse x no? Quindi in realtà potrei calcolare 2*(integrale doppio su metà del dominio). Il problema che il risultato deve uscire con pigreco. Come e perchè dovrei trasformare il dominio in coordinate polari?
3) Integrale triplo di I= log[ (x^2 - y^2) ^1/2 ] sul dominio { 1<= x^2 + y^2 <=e^2 , y<=x, 0<=z <= 1/ [ x^2 + y^2 ] .
Su questo esercizio sono proprio perso, non riesco neanche a disegnare un dominio e i relativi estremi di integrazione!
Come sempre vi sarei molto grato per l'aiuto, ho ancora 15 giorni all'esame
p.s scusa ma sono su un pc vecchio e non mi andava il codice aggiungi formula!
1) Calcolare il flusso tra { 4x+2y+z=1, x^2+y^2<=9}. Cioè in questo caso io non posso usare il teorema della divergenza in quando non parliamo di un solido ma di una circonferenza su xy e un piano giusto?
Io pensavo di parametrizzare tale superficie nella forma r(u,v) = u (i) + v(j) + (1-4u-2v) (k) . Calcolare r(u) x r(v) e sostituire nella formula del flusso. Ma come estremi di integrazione dell'integrale doppio cosa utilizzo? Questo è il mio dubbio!
2) Integrale doppio I= (x^2 - y^2) ^1/2 sul trapezio di vertici (1,-1) , (1,1) , (2,-2) , (2,2) . Ho disegnato il dominio e ho visto che è simmetrico rispetto all'asse x no? Quindi in realtà potrei calcolare 2*(integrale doppio su metà del dominio). Il problema che il risultato deve uscire con pigreco. Come e perchè dovrei trasformare il dominio in coordinate polari?
3) Integrale triplo di I= log[ (x^2 - y^2) ^1/2 ] sul dominio { 1<= x^2 + y^2 <=e^2 , y<=x, 0<=z <= 1/ [ x^2 + y^2 ] .
Su questo esercizio sono proprio perso, non riesco neanche a disegnare un dominio e i relativi estremi di integrazione!
Come sempre vi sarei molto grato per l'aiuto, ho ancora 15 giorni all'esame
p.s scusa ma sono su un pc vecchio e non mi andava il codice aggiungi formula!
Risposte
$1$.
Stai lavorando nello spazio, pertanto la seconda espressione non rappresenta una circonferenza (o, meglio, un cerchio, dato che hai la disuguaglianza) ma un cilindro: è il cerchio di raggio $3$ sul piano $xy$ estruso nella direzione $z$.
La sua intersezione con il piano genera un disco ellittico.
$2$. Dal disegno dovresti facilmente comprendere che l'angolo d'interesse varia in $[-pi/4,pi/4]$ e il raggio polare varia dalla retta $x=1$ alla retta $x=2$. Se tracci un angolo generico si formano due triangoli rettangoli con il cateto sull'asse $x$ di lunghezza $1$ e $2$. La distanza dall'origine di nostro interesse è data dalla differenza delle lunghezze delle due ipotenuse, che valgono $1/(\cos\theta)$ e $2/(\cos\theta)$.
L'integrale diviene quindi: $int_(-pi/4)^(pi/4)int_(1/(\cos\theta))^(2/(\cos\theta))\rhosqrt(2cos^2\theta-1)\ \rho\d\rho\d\theta=...=7/6pi$.
In ogni caso mi sembra più agevole risolverlo in coordinate cartesiane, osservando che $x in[1,2]$ e $-x<=y<=x$. Pertanto:
$int_(1)^(2)int_(-x)^(x)sqrt(x^2-y^2)\ \dy\dx$.
Nel calcolo di questi due integrali i passaggi $int_(-pi/4)^(pi/4) (...)\ \d\theta=2int_(0)^(pi/4) (...)\ \d\theta$ e $int_(-x)^(x) (...)\ \dy=2int_(0)^(x) (...)\ \dy$ sono legittimati dalla simmetria della funzione rispetto il piano $y=0$ (oltre che da quella del dominio).
$3$. Il dominio è abbastanza complicato.
$1<= x^2 + y^2 <=e^2$ indica una corona cilindrica (vedi punto $1$), di raggio interno $1$ e raggio esterno $e$.
$y<=x$ è un semispazio che puoi ottenere considerando il semipiano sotto la bisettrice $y=x$ nel piano $xy$ ed estendendolo nella direzione di $z$.
$z=1/(x^2+y^2)$ lo puoi vedere in più modi. Puoi considerare il paraboloide $z=x^2+y^2$ e osservare che il secondo si annulla in $(0,0)$ (e quindi il primo tende a infinito); il secondo tende a infinito allontanandosi dall'origine (e quindi il primo tende a zero).
Oppure puoi considerare le curve di livello $c=1/(x^2+y^2)$, ossia le circonferenze $x^2+y^2=1/c$ di raggio $1/sqrtc$.
Oppure ancora, puoi considerare il grafico di $z=1/x^2$ nel piano $xz$ e ruotarlo intorno l'asse $z$.
"lecter@":
1) Calcolare il flusso tra { 4x+2y+z=1, x^2+y^2<=9}. Cioè in questo caso io non posso usare il teorema della divergenza in quando non parliamo di un solido ma di una circonferenza su xy e un piano giusto?
Stai lavorando nello spazio, pertanto la seconda espressione non rappresenta una circonferenza (o, meglio, un cerchio, dato che hai la disuguaglianza) ma un cilindro: è il cerchio di raggio $3$ sul piano $xy$ estruso nella direzione $z$.
La sua intersezione con il piano genera un disco ellittico.
$2$. Dal disegno dovresti facilmente comprendere che l'angolo d'interesse varia in $[-pi/4,pi/4]$ e il raggio polare varia dalla retta $x=1$ alla retta $x=2$. Se tracci un angolo generico si formano due triangoli rettangoli con il cateto sull'asse $x$ di lunghezza $1$ e $2$. La distanza dall'origine di nostro interesse è data dalla differenza delle lunghezze delle due ipotenuse, che valgono $1/(\cos\theta)$ e $2/(\cos\theta)$.
L'integrale diviene quindi: $int_(-pi/4)^(pi/4)int_(1/(\cos\theta))^(2/(\cos\theta))\rhosqrt(2cos^2\theta-1)\ \rho\d\rho\d\theta=...=7/6pi$.
In ogni caso mi sembra più agevole risolverlo in coordinate cartesiane, osservando che $x in[1,2]$ e $-x<=y<=x$. Pertanto:
$int_(1)^(2)int_(-x)^(x)sqrt(x^2-y^2)\ \dy\dx$.
Nel calcolo di questi due integrali i passaggi $int_(-pi/4)^(pi/4) (...)\ \d\theta=2int_(0)^(pi/4) (...)\ \d\theta$ e $int_(-x)^(x) (...)\ \dy=2int_(0)^(x) (...)\ \dy$ sono legittimati dalla simmetria della funzione rispetto il piano $y=0$ (oltre che da quella del dominio).
$3$. Il dominio è abbastanza complicato.
$1<= x^2 + y^2 <=e^2$ indica una corona cilindrica (vedi punto $1$), di raggio interno $1$ e raggio esterno $e$.
$y<=x$ è un semispazio che puoi ottenere considerando il semipiano sotto la bisettrice $y=x$ nel piano $xy$ ed estendendolo nella direzione di $z$.
$z=1/(x^2+y^2)$ lo puoi vedere in più modi. Puoi considerare il paraboloide $z=x^2+y^2$ e osservare che il secondo si annulla in $(0,0)$ (e quindi il primo tende a infinito); il secondo tende a infinito allontanandosi dall'origine (e quindi il primo tende a zero).
Oppure puoi considerare le curve di livello $c=1/(x^2+y^2)$, ossia le circonferenze $x^2+y^2=1/c$ di raggio $1/sqrtc$.
Oppure ancora, puoi considerare il grafico di $z=1/x^2$ nel piano $xz$ e ruotarlo intorno l'asse $z$.
Grazie mille!!!!!!!
Visto che sei stato così chiaro ne approfitto per chiederti altri dubbi veloci :
1) mi viene data la superficie E = $ {(x,y,z) R^3 : y^2+z^2 =1, x^2+z^2<=1} $ e mi si chiede di trovare una parametrizzazione e di calcolare l'area.
Sono in R^3 quindi il primo parliamo di 2 cilindri giusto( anche se perchè ho = e nell'altro <= ???). Mi daresti un consiglio su come parametrizzarla?
2) superficie data da $ {(y,z) R^2: y^3=z^2 , 1<=z<=8 } $ . Mi viene detto di calcolare l'integrale di superficie su E dato da f(x,y,z) = 1/ $ (x^2+y^2)^(1/2) $ dS
Anche in questo caso non riesco a capire la parametrizzazione.
Dio quanto odio sti integrali di superficie
1) mi viene data la superficie E = $ {(x,y,z) R^3 : y^2+z^2 =1, x^2+z^2<=1} $ e mi si chiede di trovare una parametrizzazione e di calcolare l'area.
Sono in R^3 quindi il primo parliamo di 2 cilindri giusto( anche se perchè ho = e nell'altro <= ???). Mi daresti un consiglio su come parametrizzarla?
2) superficie data da $ {(y,z) R^2: y^3=z^2 , 1<=z<=8 } $ . Mi viene detto di calcolare l'integrale di superficie su E dato da f(x,y,z) = 1/ $ (x^2+y^2)^(1/2) $ dS
Anche in questo caso non riesco a capire la parametrizzazione.
Dio quanto odio sti integrali di superficie
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