Esercizio integrale doppio su triangolo

[mimm8]

ciao :hi ho un problema enorme nella risoluzione di questo esercizio d'esame:

[math]\int_{T} ln(x+y)\ dxdy [/math]

con T=Triangolo di vertici (0,0),(2,-1),(3,2)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Bada bene che

[math]T = T_1 \cup T_2\\[/math]

, dove:

[math]\begin{aligned}

& T_1 := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 2, \; -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{2}{3}x \right\} \; ; \\

& T_2 := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 2 \le x \le 3, \; 3x - 7 \le y \le \frac{2}{3}x \right\} \; .

\end{aligned}\\[/math]

Quindi, grazie alla proprietà additiva degli integrali, si ha:

[math]\iint\limits_T \log(x + y)\,\text{d}x\,\text{d}y = \iint\limits_{T_1} \log(x + y)\,\text{d}x\,\text{d}y + \iint\limits_{T_2} \log(x + y)\,\text{d}x\,\text{d}y = \dots\\[/math]

A te i conti. ;)

[mimm8]

Grazie, però ho un'altra domanda da fare, si può risolvere questo integrale tramite un cambiamento di coordinate?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Per quanto riguarda la possibilità di applicare una trasformazione di coordinate
nessuno lo vieta, occorre un po' valutare se ne vale davvero la pena. Ad esempio,
una sensata trasformazione consiste nel ruotare il sistema di riferimento

[math]x,y[/math]

,
in modo da far coincidere l'asse delle ascisse col lato AC del triangolo; proviamo.

Dunque, applicando la seguente trasformazione di coordinate:

[math]
\Phi :
\begin{cases}
x = \frac{3\,u - 2\,v}{\sqrt{13}} \\
y = \frac{2\,u + 3\,v}{\sqrt{13}}
\end{cases}
[/math]

si ha

[math]J_{\Phi}(u,\,v) = 1[/math]

e i vertici del triangolo

[math]T^*[/math]

nel nuovo sistema di
riferimento

[math]u,v[/math]

hanno rispettivamente coordinate

[math]\small (0,\,0)[/math]

,

[math]\small \left(\frac{4}{\sqrt{13}},\,-\frac{7}{\sqrt{13}}\right)[/math]

,

[math]\left(\sqrt{13},\,0\right)\\[/math]

. Quindi, molto banalmente, segue che:

[math]T^* := \left\{ (u,\,v) \in \mathbb{R}^2 : -\frac{7}{\sqrt{13}} \le v \le 0, \; - \frac{4}{7}v \le u \le \frac{9}{7}v + \sqrt{13} \right\}[/math]

e a questo punto l'integrale da risolve è solamente uno in luogo di due:

[math]\iint\limits_T \log(x + y)\,\text{d}x\,\text{d}y = \iint\limits_{T^*} \log\left(\frac{5u + v}{\sqrt{13}}\right) \text{d}u\,\text{d}v = \dots\\[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)