Esercizio integrale doppio in dominio normale

[maryenn1]

Ciao a tutti,qualcuno potrebbe aiutarmi con questo integrale doppio?Io l'ho risolto,ma non sono sicura del procedimento!
$∫∫_D ycos(xy)d xdy$
dove $D= {(x, y) ∈ R^2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1/x }$
Essendo il dominio normale rispetto all'asse x,ho integrato prima rispetto a y:
$∫_0^(1/x) ycos(xy) dy= 1/x^2sin(1)+1/x^2cos(1)-1/x^2$
A questo punto ho integrato rispetto ad x:
$∫_1^(2)1/x^2sin(1)+1/x^2cos(1)-1/x^2 dx= 1/2sin(1)+1/2cos(1)-1/2.$
Potete controllare i miei passaggi?

[Frink1]

Fin qui direi tutto ok

"maryenn":
$ ∫_0^(1/x) ycos(xy) dy= 1/x^2sin(1)+1/x^2cos(1)-1/x^2 $

Non ho capito quel termine $1/x^2$ finale. L'integrale di quella funzione mi pare sia $∫_0^(1/x) ycos(xy) dy= 1/x^2sin(1)+1/x^2cos(1)=1/x^2(sin(1)+cos(1))$

A questo punto devi solo integrare $1/x^2$ nell'intervallo giusto, e qui io ottengo il tuo stesso risultato, ma senza quel termine finale che non so proprio da dove spunti fuori.

[maryenn1]

Ho risolto questo integrale per parti:
$ ∫_0^(1/x) ycos(xy) dy=(1/x*ysin(xy))_0^(1/x)-∫_0^(1/x) 1/xsin(xy) dy=$
$=1/x^2sin(1)+(1/x^2cos(xy))_0^(1/x)=$
$=1/x^2sin(1)+(1/x^2cos(1)-1/x^2cos(0))=1/x^2sin(1)+1/x^2cos(1)-1/x^2$
L'ultimo termine c'è perchè $ cos(0)=1$

[Frink1]

E hai proprio ragione! Perdonami, mea culpa. Allora direi che la tua risoluzione è corretta al 100%

[maryenn1]

Ok grazie mille