Esercizio integrale doppio (dominio rettangolare ma funzione "polare")

[MrMojoRisin891]

Ciao, innanzitutto mi scuso per il titolo scritto forse male, ma cercavo di sintetizzare il contenuto del thread.
Comunque, sono alle prime armi con gli integrali doppi, e mi viene chiesto di risolvere questo:
$\int int_([0,1]\times[0,1]) (x^3y)/(x^2+y^2) dxdy$

Il fatto è che non voglio risolverlo come integrale iterato applicando brutalmente l'integrazione per parti, ma vorrei cercare una sostituzione adatta, solo che non mi viene niente... intuisco che sarebbe comodo usare funzioni trigonometriche, ma non sto riuscendo a capire come effettuare la sostituzione... qualcuno mi può aiutare? grazie

[Bremen000]

Io lo risolverei normalmente:
$
\int int_([0,1]\times[0,1]) (x^3y)/(x^2+y^2) dxdy = \int_{0}^{1} ( int_{0}^{1} \(x^3y)/(x^2+y^2)dy)dx = \int_{0}^{1} [x^3 (ln(x^2+1)/2-ln(x^2)/2)]dx = 1/2 \int_{0}^{1} x^3 ln((x^2+1)/x^2) dx = 1/2[x^4/4 ln((x^2+1)/x^2)]_{0}^{1} -1/2 \int_{0}^{1} x^4/4*x^2/(x^2+1)*(2x*x^2-2x(x^2+1))/x^4 dx= 1/2[1/4ln(2)-0]+1/4 \int_{0}^{1} x^3/(x^2+1) dx = 1/8ln(2) +1/4 \int_{0}^{1} x-x/(x^2+1) dx = 1/8ln(2) + 1/8 [ x^2-ln(x^2+1)]_{0}^{1} = 1/8
$

[MrMojoRisin891]

Quindi non ti vengono in mente sostituzioni comode? a me quel denominatore suggerisce una sostituzione trigonometrica, con $x= rhocostheta$ e $y=rhosentheta$, ottenendo $rho^3cos^3thetasentheta drhod\theta$, ma poi il dominio?
Grazie comunque per la risposta!

[Bremen000]

Eh, è proprio il dominio che non mi pare adatto a questo tipo di sostituzione... a mio parere una soluzione in coordinate polari complicherebbe solo in maniera notevole le cose...