Esercizio integrale doppio

[cri981]

salve ragazzi!
devo risolvere questo integrale doppio
$intintx^2e^(-xy/2dxdy)$
soluzioni proposte:
1)e^(-2)
2)e+e^(-1)-2
3)4
4)2e+2e^(-1)

effettuando una rappresentazione grafica ottengo, il seguente dominio:
$ { ( 0<=x<=1 ),( 0<=y<=2x ):} $

ottengo:
$ int_(0)^(1)dx2int_(0)^(2x)x^2e^((-(xy)/2))dy $


$ 2int_(0)^(2x)x^2e^((-(xy)/2))dy $

$gprime=x^2$ $ g=x^3/3$
$f=e^(-(xy)/2) $ $ fprime=-1/2e^(-(xy)/2)$
integrando per parti ottengo:
f(x)g(x)intfprime(x)g(x)=
$x^3/3e^(-(xy)/2)-int-1/2e^(-(xy)/2)x^3/3=x^3/3e^(-(xy)/2)+1/6intx^3e^(-xy)/2 dx$
sto procedendo in modo corretto?
a questo punto integro nuovamente?
grazie

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Scrivi bene, altrimenti non si capisce niente...
L'integrale doppio proposto è il seguente?

$\int \int_D x^2 e^{xy/2} \text{d}x \text{d}y $

"cri98":effettuando una rappresentazione grafica ottengo, il seguente dominio:

${(0 <= x <= 1),(0 <= y<= 2x):}$

Cosa significa? Questo è il dominio $D$ o è quello che hai ottenuto tu? Qual è il dominio $D$ che di solito viene fornito contestualmente all'integrale doppio da risolvere?

"cri98":sto procedendo in modo corretto?

No.

[cri981]

ciao pilloeffe!
l'integrale da risolvere è il seguente:
$ \int \int_D x^2 e^{(xy)/2} \text{d}x \text{d}y $
il dominio è delimitato da$ x=1$, $y=2x$ e $y=-2x$ (mancava questa parte dell'esercizio)

effettuando una rappresentazione grafica ottengo:
$ {(0 <= x <= 1),(0 <= y<= 2x):} $

$ int_(0)^(1)dx2int_(0)^(2x)x^2e^((-(xy)/2))dy $

soluzioni che vengono proposte sono le seguenti:
1)$e^(-2)$
2)$e+e^(-1)-2$
3)$4$
4)$2e+2e^(-1)$

grazie!

[Mephlip]

Come mai integri $y$ tra $0$ e $2x$? C'è anche la limitazione $y=-2x$; riprova ad impostare l'integrale tenendo conto anche di $y=-2x$.

[pilloeffe]

"Mephlip":Come mai integri $y$ tra $0$ e $2x$? C'è anche la limitazione $y=−2x$; riprova ad impostare l'integrale tenendo conto anche di $y=−2x$.

Quoto Mephlip.
Così facendo a me risulta corretta la risposta 2).

[cri981]

ciao pilloeffe!
risolvendo inizialmente l'integrale ottengo:

$int_(0)^(1)dxint_(-2x)^(2x)x^2e^((-xy)/2dy$

ottengo:
$ { ( 0<=x<=1 ),( -2x<=y<=2x ):} $

si ottiene:
$int_(0)^(1)[-2xe^(-xy)/2]_(-2x)^(2x)dy$

sostituendo si ottiene:
$-2xe^(-2x^2)+2xe^(2x^2)$
in questo caso non ottengo 0?
c'è qualche errore?
grazie!

[pilloeffe]

"cri98":c'è qualche errore?

Evidentemente sì, visto che non pervieni ad una delle 4 soluzioni proposte...
Si ha:

$ \int \int_D x^2 e^{xy/2} \text{d}x \text{d}y = \int_0^1 x^2 \text{d}x \int_{-2x}^{2x} e^{xy/2} \text{d}y = \int_0^1 x^2 [2/x e^{xy/2}]_{-2x}^{2x} \text{d}x = 2 \int_0^1 x [e^{xy/2}]_{-2x}^{2x} \text{d}x = $
$ = 2 \int_0^1 x [e^{x^2} - e^{- x^2}] \text{d}x = \int_0^1 2x e^{x^2} \text{d}x + \int_0^1 -2x e^{- x^2} \text{d}x = [e^{x^2}]_0^1 + [e^{- x^2}]_0^1 = $
$ = e - 1 + e^{-1} - 1 = e + e^(-1) - 2 $

Dunque, come ho già scritto in un post precedente, risulta corretta la risposta 2).