Esercizio integrale di superficie
Propongo questo esercizio di analisi 2. Il procedimento credo sia giusto, il problema mi sorge nell'ultimo passaggio poichè non sono sicuro circa gli estremi di integrazione:
Testo esercizio: Calcolare
$ int_(S) z/(sqrt(4z+1))dS $
dove
$ S = {(x,y,z)in R^3 | z=x^2+y^2, x^2+y^2-y<=0, x>=0} $
ora, ho trovato la parametrizzazione
$ sigma (x,y)=(x, y,x^2+y^2) $
da cui ho applicato la formula
$ intint f(sigma(x,y))norm(sigma_x(x,y)^^ sigma_y(x,y))dxdy $
e ho ottenuto:
$ intint x/sqrt(4(x^2+y^2)+1)sqrt(4(x^2+y^2)+1)dxdy $
che diventa banalmente
$ intint xdxdy $
Il mio problema è ora quello degli estremi di integrazione. Ho pensato di ricavarli dalla definizione della superficie, pertanto $ 0<=x<=sqrt(y^2-y) $ per quanto riguarda x mentre $ 0<=y<=1 $ per y. Fatti i dovuti calcoli ottengo che l'integrale è pari a $ 5/12 $. Non sono tuttavia sicuro che gli estremi di integrazione siano giusti. Spero ovviamente che il resto lo sia. Grazie in anticipo
Testo esercizio: Calcolare
$ int_(S) z/(sqrt(4z+1))dS $
dove
$ S = {(x,y,z)in R^3 | z=x^2+y^2, x^2+y^2-y<=0, x>=0} $
ora, ho trovato la parametrizzazione
$ sigma (x,y)=(x, y,x^2+y^2) $
da cui ho applicato la formula
$ intint f(sigma(x,y))norm(sigma_x(x,y)^^ sigma_y(x,y))dxdy $
e ho ottenuto:
$ intint x/sqrt(4(x^2+y^2)+1)sqrt(4(x^2+y^2)+1)dxdy $
che diventa banalmente
$ intint xdxdy $
Il mio problema è ora quello degli estremi di integrazione. Ho pensato di ricavarli dalla definizione della superficie, pertanto $ 0<=x<=sqrt(y^2-y) $ per quanto riguarda x mentre $ 0<=y<=1 $ per y. Fatti i dovuti calcoli ottengo che l'integrale è pari a $ 5/12 $. Non sono tuttavia sicuro che gli estremi di integrazione siano giusti. Spero ovviamente che il resto lo sia. Grazie in anticipo
Risposte
Ciao keziah,
Se il testo è corretto, mi torna $\norm{N(x,y)} = norm(sigma_x(x,y)^^ sigma_y(x,y)) = sqrt(4(x^2+y^2)+1) $, invece non capisco perché poi la $z $ a numeratore diventa una $x$:
Secondo me a numeratore dovrebbe comparire $z = x^2 + y^2 $
Poi gli estremi di integrazione sono errati perché dalla disequazione $ y^2−y + x^2 \le 0 $ si ottiene $ 1/2 (1 - sqrt{1 - 4x^2}) <= y <= 1/2 (1 + sqrt{1 - 4x^2}) $ e per l'esistenza del radicale $-1/2 <= x <= 1/2 $, ma siccome poi $x >= 0 $ ecco che si ha $ 0 <= x <= 1/2 $
"keziah":
Testo esercizio: Calcolare
$\int_S z/sqrt{4z+1}\text{d}S $
dove
$S={(x,y,z)\in \RR^3 | z=x^2+y^2,x^2+y^2−y \le 0,x\ge 0}$
Se il testo è corretto, mi torna $\norm{N(x,y)} = norm(sigma_x(x,y)^^ sigma_y(x,y)) = sqrt(4(x^2+y^2)+1) $, invece non capisco perché poi la $z $ a numeratore diventa una $x$:
"keziah":
e ho ottenuto:
$\int\int x/sqrt(4(x^2+y^2)+1)\sqrt{4(x^2+y^2)+1}\text{d}x\text{d}y $
Secondo me a numeratore dovrebbe comparire $z = x^2 + y^2 $
Poi gli estremi di integrazione sono errati perché dalla disequazione $ y^2−y + x^2 \le 0 $ si ottiene $ 1/2 (1 - sqrt{1 - 4x^2}) <= y <= 1/2 (1 + sqrt{1 - 4x^2}) $ e per l'esistenza del radicale $-1/2 <= x <= 1/2 $, ma siccome poi $x >= 0 $ ecco che si ha $ 0 <= x <= 1/2 $
effettivamente ho sbagliato a riportare l'esercizio poichè a numeratore c'è la x e non la z e per quello mi veniva x come unzione integranda. Comunque grazie per gli estremi era proprio quello che cercavo e mi torna 
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