Esercizio integrale di Lebesgue
Si consideri il sottoinsieme misurabile di $RR^2$
$A={x in RR^2: 0<=x_1<=1 ; 0<=x_2<=x1}$ e la funzione definita quasi ovunque da
$f(x)=1/(x_1sqrt(x_2))$
Si provi che $f$ è integrabile su $A$ e si calcoli $int_(A) f $
Io ho fatto così:
in quanto $f$ è una funzione d.q.o. e dove $f$ non è definita ($H={0}$) il sottoinsieme ha misura nulla, quindi $bar(f)=f(x)$ per ogni $x in A-{0}$ ;$bar(f)=0$ in $x=0$
ovvero $hat(f)=f(x)$ per ogni $x in A-H$ ; $hat(f)=0$ in $x !in A-H$
allora $int_(A-H)f=int_(RR^2)hat(f)=int_(A)bar(f)$
ora vado a calcolarmi l'integrale (ometto i calcoli)
$int_(0)^(1)[int_(0)^(x_1)(1/(x_1sqrt(x_2)))dx_2]dx_1=4$
è giusto il procedimento? grazie in anticipo
$A={x in RR^2: 0<=x_1<=1 ; 0<=x_2<=x1}$ e la funzione definita quasi ovunque da
$f(x)=1/(x_1sqrt(x_2))$
Si provi che $f$ è integrabile su $A$ e si calcoli $int_(A) f $
Io ho fatto così:
in quanto $f$ è una funzione d.q.o. e dove $f$ non è definita ($H={0}$) il sottoinsieme ha misura nulla, quindi $bar(f)=f(x)$ per ogni $x in A-{0}$ ;$bar(f)=0$ in $x=0$
ovvero $hat(f)=f(x)$ per ogni $x in A-H$ ; $hat(f)=0$ in $x !in A-H$
allora $int_(A-H)f=int_(RR^2)hat(f)=int_(A)bar(f)$
ora vado a calcolarmi l'integrale (ometto i calcoli)
$int_(0)^(1)[int_(0)^(x_1)(1/(x_1sqrt(x_2)))dx_2]dx_1=4$
è giusto il procedimento? grazie in anticipo
Risposte
"Blackorgasm":
dove $f$ non è definita ($H={0}$) il sottoinsieme ha misura nulla, quindi $bar(f)=f(x)$ $x in A-{0}$ ;$bar(f)=0$ $x=0$
Scusa ma non puoi provare ad essere più chiaro nelle notazioni e nella scrittura delle formule?
Io, sinceramente, ho provato a leggere il tuo post ma non sono riuscito a comprenderlo.
Per $H={0}$ intendi l'origine? Guarda che la funzione non è definita in un intero segmento di A.
E quindi?
Dove sta la dimostrazione del fatto che [tex]$f(x_1,x_2)$[/tex] è integrabile?
Dove sta la dimostrazione del fatto che [tex]$f(x_1,x_2)$[/tex] è integrabile?
per $H={0}$ si intendo l'origine, comunque per quanto riguarda la dimostrazione ho solo seguito quello che dice la dispensa.
Praticamente, se ho capito qualcosa (non credo
), siccome $bar(f)$ e $hat(f)$ sono integrabili nei sottoinsieme dove li ho definiti, allora di conseguenza anche $f$ (che è definita quasi ovunque) è integrabile secondo Lebesgue su $A$. Questo è quello che dicono le mie dispense, mi affido a voi.
Praticamente, se ho capito qualcosa (non credo
), siccome $bar(f)$ e $hat(f)$ sono integrabili nei sottoinsieme dove li ho definiti, allora di conseguenza anche $f$ (che è definita quasi ovunque) è integrabile secondo Lebesgue su $A$. Questo è quello che dicono le mie dispense, mi affido a voi.
"Blackorgasm":
siccome $bar(f)$ e $hat(f)$ sono integrabili nei sottoinsieme dove li ho definiti
Guarda che questo è ciò che devi dimostrare, l'esercizio consiste in questo.
Inoltre, ripeto, l'origine non è l'unico punto di A dove quella funzione non è definita.
Innanzitutto, ci sono dei problemi, perchè la funzione che hai (e come anche ogni suo prolungamento) "esplode" in $(0,0)$.
Come fare a stabilire se una funzione positiva di più variabili è integrabile secondo Lebesgue? Beh, potresti usare il teorema di Fubini/Tonelli.
Per inciso, questo è quello che hai fatto seguendo le dispense... Ma poi non hai concluso il ragionamento.
Quindi completa un po' quello che hai scritto.
Come fare a stabilire se una funzione positiva di più variabili è integrabile secondo Lebesgue? Beh, potresti usare il teorema di Fubini/Tonelli.
Per inciso, questo è quello che hai fatto seguendo le dispense... Ma poi non hai concluso il ragionamento.
Quindi completa un po' quello che hai scritto.
Riprendo l'esercizio provando ad applicare Tonelli:
allora per prima cosa devo vedere se la mia funzione è positiva nel sottoinsieme che mi viene proposto, ed in effetti è positiva.
fisso ora la variabile $x_1$ e guardo se la funzione $1/sqrt(x_2)$ è integrabile: $int_(0)^(x_1)1/(sqrt(x_2))dx_2=2/(sqrt(x_1))$ quindi è integrabile.
ora considero la variabile $x_1$ che avevo fissato e controllo che la funzione $2/sqrt(x_1)$ sia integrabile: $int_(0)^(1)2/sqrt(x_1)dx_1=4$; ciò implica che la funzione di partenza è integrabile nel sottoinsieme di $RR^2$ dato.
Quindi $int_(A)f=4$
Sono migliorato?
allora per prima cosa devo vedere se la mia funzione è positiva nel sottoinsieme che mi viene proposto, ed in effetti è positiva.
fisso ora la variabile $x_1$ e guardo se la funzione $1/sqrt(x_2)$ è integrabile: $int_(0)^(x_1)1/(sqrt(x_2))dx_2=2/(sqrt(x_1))$ quindi è integrabile.
ora considero la variabile $x_1$ che avevo fissato e controllo che la funzione $2/sqrt(x_1)$ sia integrabile: $int_(0)^(1)2/sqrt(x_1)dx_1=4$; ciò implica che la funzione di partenza è integrabile nel sottoinsieme di $RR^2$ dato.
Quindi $int_(A)f=4$
Sono migliorato?
Up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo