Esercizio Integrale di Flusso

[fra_62]

Ciao a tutti, vi riporto il testo di questo esercizio di Analisi II trovato su internet:

Si consideri la superficie il cui sostegno S è definito da $ z=1-x^2-4y^2 ,z>=0.$
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z)=xz*i-yz*j-k $ attraverso S nella direzione del versore
normale con componente k negativa.


Il teorema della divergenza non posso applicarlo perchè S non è chiusa, parametrizzo quindi la superficie, che è un paraboloide ellittico che parte da $ z=1 $ fino a $ z=0 $ in questo caso, in questo modo:

$ sigma(rho,vartheta)=(rhocosvartheta,1/2rhosinvartheta,1-rho^2) $ con $ (rho,vartheta)in Omega={0<=vartheta<=2pi,0<=rho<=1} $

Calcolo quindi le derivate parziali : $ (partial sigma)/(partial rho) =(cosvartheta,1/2sinvartheta,-2rho) $ e$(partial sigma)/(partial vartheta)=( -rhosinvartheta , 1/2rhocosvartheta , 0 ) $

Calcolo il vettore normale dato da: $ upsilon (rho,vartheta)=(partial sigma)/(partial rho)^^ (partial sigma)/(partial vartheta)=( ( i , j , k ),( cosvartheta , 1/2sinvartheta , -2rho ),( -rhosinvartheta , 1/2rhocosvartheta , 0 ) ) =(rho^2cosvartheta,-2rho^2sinvartheta,1/2rho) $

L'esercizio mi chiede la direzione del versore normale con componente k negativa, quindi cambio il segno al mio vettore normale: $(-rho^2cosvartheta,2rho^2sinvartheta,-1/2rho) $

A questo punto calcolo $ F(sigma(rho,vartheta))=(rho(1-rho^2)cosvartheta,-1/2rho(1-rho^2sinvartheta),-1) $

Procedo con l'integrale di flusso:

$ int_(S) F*n=intint_OmegaF(sigma(rho,vartheta))*upsilon (rho,vartheta)drhodvartheta=$

$ =int_(0)^(2pi)int_(0)^(1) (-rho^3(1-rho^2)cos^2vartheta-rho^3(1-rho^2)sin^2vartheta+1/2rho)drhodvartheta= $

$ =int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)(-rho^3(1-rho^2)+1/2rho)drhodvartheta=int_(0)^(2pi)dvarthetaint_(0)^(1)(rho^5-rho^3+1/2rho)drho= $

$ =2pi[rho^6/6-rho^4/4+rho^2/4]_(0)^(1)=pi/3 $


Il risultato che ho scritto sulla dispensa che ho trovato è $ pi/2 $ , potete aiutarmi a capire cosa ho sbagliato?
Grazie mille in anticipo!

[seb1]

Hai sbagliato un segno qui:

"fra_62":Calcolo il vettore normale dato da: $ upsilon (rho,vartheta)=(partial sigma)/(partial rho)^^ (partial sigma)/(partial vartheta)=( ( i , j , k ),( cosvartheta , 1/2sinvartheta , -2rho ),( -rhosinvartheta , 1/2rhocosvartheta , 0 ) ) =(rho^2cosvartheta,-2rho^2sinvartheta,1/2rho) $

Messo a posto questo, tutto il resto è corretto!

[fra_62]

Non ci credo. xD
Il bello è che ho controllato il prodotto vettoriale più e più volte, ma niente non me n'ero accorto. Tendo a sbagliare spesso la seconda componente per via del cambio di segno, devo starci più attento.
Grazie mille!!

[seb1]

Faccio un attimo una considerazione, però. Tu scrivi:

"fra_62":Il teorema della divergenza non posso applicarlo perchè S non è chiusa

ed il punto è proprio questo: se la superficie \(S\) non è chiusa, nulla ti vieta di chiuderla. Per il teorema della divergenza:\[\iiint_V\operatorname{div}F(x,y,z)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\iint_{\partial V}\!\!\!F(x,y,z)\cdot\nu(x,y,z)\mathrm{d}\sigma=\iint_SF\cdot\nu\,\mathrm{d}\sigma+\iint_\Sigma F\cdot\nu\,\mathrm{d}\sigma\]ove s'è imposto \(\partial V=S\cup\Sigma\). Allora:\[\iint_SF(x,y,z)\cdot\nu(x,y,z)\mathrm{d}\sigma=\iiint_V\operatorname{div}F(x,y,z)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z-\iint_\Sigma F(x,y,z)\cdot\nu(x,y,z)\mathrm{d}\sigma\]Ora, se il campo è solenoidale, ci si riduce a:\[\iint_SF(x,y,z)\cdot\nu(x,y,z)\mathrm{d}\sigma=-\iint_\Sigma F(x,y,z)\cdot\nu(x,y,z)\mathrm{d}\sigma\]e questo c'è assai comodo perché \(\Sigma\) possiamo sceglierla come vogliamo a patto che abbia come bordo il contorno di \(S\); insomma, \(\Sigma\) possiamo sceglierla molto più semplice di \(S\) e in maniera tale che ci semplifichi i calcoli. Nel tuo caso, dato che \(\operatorname{div}F=z-z=0\), ci è comodo considerare una nuova superficie definita come sopra: si può prendere, ad esempio, l'ellissi sul piano \(z=0\), la cui normale esterna non c'è nemmeno necessità che venga calcolata e, di più, in \(F\cdot\nu\) si mantiene solamente la componente relativa all'asse \(z\) (che è, peraltro, costante); cioè:\[\iint_SF(x,y,z)\cdot\nu(x,y,z)\mathrm{d}\sigma=-\iint_\Sigma F(x,y,z)\cdot\nu(x,y,z)\mathrm{d}\sigma=\iint_\Sigma\mathrm{d}\sigma=A(\Sigma)=\pi\cdot1\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}\]Nettamente più semplice e rapido.

[fra_62]

Giustissimo, avevo pensato a chiudere la superficie ed utilizzare la divergenza, ma non avevo fatto caso di quanto si semplificasse il calcolo.
Molto più semplice calcolare il flusso su un ellisse nel piano xy, piuttosto che il paraboloide ellittico di prima.

Grazie mille ancora, gentilissimo!