Esercizio Integrale definito 2 !

[LucaC1]

$\int_0^log3\e\^x/(\e\^(2x)-2\e\^x)dx$

Sostituzione : $\e\^x=t$ $x=logt$ $dx=(1/t) dt$

$\int_0^log3t/(t^2-2t)(1/t)dt$ semplifico la t al num con quella del differenziale

$\int_0^log3 1/(t^2-2t)dt$ ora devo applicare la scomposizione per fratti cn A e B

oppure posso concludere direttamente con $\int_0^log3 1/(t^2-2t)dt=log|t^2-2t|=log|\e\^(2x)-2\e\^x|$
se concludo così ottengo :
$f(0)=log |\e\^(2x)-2\e\^x|= log ( 1-2)=0$
$f(log3)=log |\e\^(2x)-2\e\^x|= log (\e\^(2log3)-2\e\^log3)$ ???????????

[walter891]

siccome al denominatore rimane un polinomio di secondo grado lo devi scomporre, non è possibile integrarlo in quel modo

[Plepp]

"LucaC":$\int_0^log3\e\^x/(\e\^(2x)-2\e\^x)dx$

Sostituzione : $\e\^x=t$ $x=logt$ $dx=(1/t) dt$

$\int_0^log3t/(t^2-2t)(1/t)dt$ semplifico la t al num con quella del differenziale

$\int_0^log3 1/(t^2-2t)dt$

Ciao Luca, fin qui ok, però gli estremi d'integrazione li devi cambiare subito:
\[x\in [0,\log 3] \implies t\in [e^0, e^{\log 3}]=[1,3]\]

"LucaC":
$\int_0^log3 1/(t^2-2t)dt$ ora devo applicare la scomposizione per fratti cn A e B
oppure posso concludere direttamente con $\int_0^log3 1/(t^2-2t)dt=log|t^2-2t|=log|\e\^(2x)-2\e\^x|$

No. Devi scomporre in fratti semplici (o puoi fare altro se preferisci), ma non puoi concludere cosi. Prova a derivare quella roba che hai ottenuto e vedi se ti ritorna l'integranda.

Ciao

Giuseppe

[LucaC1]

ho provato a scomporre in fratti semplici ma nn risulta :
$ t^2-2t=t(t-2)$

$(A/t)+(B/(t-2))$

$\{(A+B=0),(- 2A = 1):}$
${(A=-(1/2)),(b = 1/2):}$

si fa così questa scomposizione ?