Esercizio integrale curvilineo arco di circ.
Ciao a tutti,non so come procedere con questo esercizio:
Ho questa forma differenziale:
$w=(1/(2(x-y)^(1/2))+sinx)dx-(1/(2(x-y)^(1/2))+y^3+1)dy$
e ho ricavato che è chiusa ed esatta;inoltre,ho calcolato una sua primitiva:
$F(x,y)=(x-y)^(1/2)-cosx-y^4/4-y +c$
Ora l'esercizio mi chiede di calcolare l’integrale curvilineo di w esteso all’ arco di circonferenza $(x-3)^2+y^2=1$ che si
trova nel primo quadrante orientata nel verso delle x crescenti.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Ho questa forma differenziale:
$w=(1/(2(x-y)^(1/2))+sinx)dx-(1/(2(x-y)^(1/2))+y^3+1)dy$
e ho ricavato che è chiusa ed esatta;inoltre,ho calcolato una sua primitiva:
$F(x,y)=(x-y)^(1/2)-cosx-y^4/4-y +c$
Ora l'esercizio mi chiede di calcolare l’integrale curvilineo di w esteso all’ arco di circonferenza $(x-3)^2+y^2=1$ che si
trova nel primo quadrante orientata nel verso delle x crescenti.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Risposte
determina le intersezioni della circonferenza con l'asse delle x(perchè solo quelle ci sono)
in questo modo hai punto iniziale e punto finale dell'arco che si trova nel 1° quadrante
in questo modo hai punto iniziale e punto finale dell'arco che si trova nel 1° quadrante
Se una forma è esatta su un dominio semplicemente connesso, e la curva è tutta contenuta in tale dominio e ha estremi $A$ e $B$ (iniziale e finale), detta $F$ la primitiva, allora
$$\int_\gamma\omega=F(B)-F(A)$$
(condizione equivalente di "esattezza"...ma la studiate la teoria ogni tanto, così, per sfizio?)
Domanda da un milione di euro: la forma DOVE è esatta? perché ti faccio presente che non è definita su tutto $RR^2$, ma solo nei punti dove $x-y\ge 0$. Seconda domanda, da 2 milioni di euro: la curva scritta è contenuta nel dominio in cui la forma è esatta? Se sì, terza domanda,da 10 milioni di euro: quali sono il punto iniziale e finale di quella curva? Alla fine, applicare la formula, se possibile.
$$\int_\gamma\omega=F(B)-F(A)$$
(condizione equivalente di "esattezza"...ma la studiate la teoria ogni tanto, così, per sfizio?)
Domanda da un milione di euro: la forma DOVE è esatta? perché ti faccio presente che non è definita su tutto $RR^2$, ma solo nei punti dove $x-y\ge 0$. Seconda domanda, da 2 milioni di euro: la curva scritta è contenuta nel dominio in cui la forma è esatta? Se sì, terza domanda,da 10 milioni di euro: quali sono il punto iniziale e finale di quella curva? Alla fine, applicare la formula, se possibile.
Grazie per avermi risposto...Questo è il primo esercizio di questa tipologia che svolgo,quindi non ho pensato subito ad applicare la formula in questione!In realtà pensavo di dover utilizzare la formula di Gauss Green(che forse non c'entra niente),scusate la domanda sciocca ma in quali casi bisogna usarla?
Scusami ciampax non per fare polemica ma non occorre essere così saccente,la teoria l'ho studiata,inoltre la prima cosa che ho fatto nella prima parte dell'esercizio è stata proprio determinare l'insieme di definizione,ma ho dimenticato di postarlo e poi domanda da 27 milioni di euro:se fossi un genio non chiederei aiuto su questo forum,il cui scopo è proprio confrontarsi e approfondire le varie materie studiate!
Scusami ciampax non per fare polemica ma non occorre essere così saccente,la teoria l'ho studiata,inoltre la prima cosa che ho fatto nella prima parte dell'esercizio è stata proprio determinare l'insieme di definizione,ma ho dimenticato di postarlo e poi domanda da 27 milioni di euro:se fossi un genio non chiederei aiuto su questo forum,il cui scopo è proprio confrontarsi e approfondire le varie materie studiate!
Non è saccenteria, ma la constatazione di un fatto che capita spesso: la gente si mette a fare esercizi senza neanche fissare prima bene la teoria in testa. L'introdurre le domande in quel modo si chiama "ironia": forse è spicciola, ma meglio non mi riusciva, e serviva a sottolineare il fatto che rispondere a quelle domande ti avrebbe fornito automaticamente metodo e soluzione.
Una volta aver rappresentato il mio arco di circonferenza nel piano,tenendo conto dell'insieme di definizione della forma differenziale,ho ricavato che il mio punto finale è $B(4,0) $ e il mio punto iniziale $ A(2,0)$.
Quindi ho calcolato $F(B)-F(A)$ dove F è la primitiva che ho calcolato precedentemente!Allora L'integrale curvilineo dovrebbe essere pari a :
$2-cos(4)-sqrt(2)-cos(2)+c$
Giusto?Ho un piccolo dubbio l'esercizio nel punto precedente mi chiedeva di determinare la primitiva che si annulla nel punto (1,0),ma quando calcolo questo integrale curvilineo và bene aggiungere semplicemente la costante c o devo tener conto di quella determinata primitiva ?
Quindi ho calcolato $F(B)-F(A)$ dove F è la primitiva che ho calcolato precedentemente!Allora L'integrale curvilineo dovrebbe essere pari a :
$2-cos(4)-sqrt(2)-cos(2)+c$
Giusto?Ho un piccolo dubbio l'esercizio nel punto precedente mi chiedeva di determinare la primitiva che si annulla nel punto (1,0),ma quando calcolo questo integrale curvilineo và bene aggiungere semplicemente la costante c o devo tener conto di quella determinata primitiva ?
il risultato dell'integrale curvilineo è un ben determinato numero: $2-cos4 -sqrt2+cos2$
per l'altra domanda ,sostituisci a $x,y$, nella formula della primitiva,le coordinate del punto ed imponi che venga zero
in questo modo trovi il corrispondente valore di $c$
per l'altra domanda ,sostituisci a $x,y$, nella formula della primitiva,le coordinate del punto ed imponi che venga zero
in questo modo trovi il corrispondente valore di $c$
Ok ho capito grazie mille 
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