Esercizio integrale curvilineo
Ciao a tutti. Qualcuno può postare una soluzione passo passo di questo esercizio?
Mi interessa più il modo di procedere, dato che è un "esercizio tipo" che compare spesso nel compito, e non so come si risolve. Grazie in anticipo.
Siano E1 := {(x, y, z) ∈ R^3 : z ≥ x^2+y^2},
S2 := (x, y, z) ∈ R^3 : z − x − y = − 1/4
e S1 := E1 ∩ S2. Sia γ : [0, 2π] → R^3 una curva semplice, regolare e chiusa che parametrizza il bordo di S1,
γ([0, 2π]) = ∂S1.
(a) Determinare una parametrizzazione di S1 e i due orientamenti possibili ν±.
(b) Calcolare il modulo dell’ integrale curvilineo
\int ω ds
dove ω(x, y, z) = e^(x+y)dx + e^(x+y)dy + x^4 dz.
Mi interessa più il modo di procedere, dato che è un "esercizio tipo" che compare spesso nel compito, e non so come si risolve. Grazie in anticipo.
Siano E1 := {(x, y, z) ∈ R^3 : z ≥ x^2+y^2},
S2 := (x, y, z) ∈ R^3 : z − x − y = − 1/4
e S1 := E1 ∩ S2. Sia γ : [0, 2π] → R^3 una curva semplice, regolare e chiusa che parametrizza il bordo di S1,
γ([0, 2π]) = ∂S1.
(a) Determinare una parametrizzazione di S1 e i due orientamenti possibili ν±.
(b) Calcolare il modulo dell’ integrale curvilineo
\int ω ds
dove ω(x, y, z) = e^(x+y)dx + e^(x+y)dy + x^4 dz.
Risposte
Ciao.
Vediamo se riesco a concludere qualcosa con questo esercizio interessante. Spero di non scrivere cavolate, visto che non è proprio il tipo di esercizi che faccio tutti giorni.
La prima cosa che ci viene chiesta è di parametrizzare una curva su $\mathbb{R}^3$ data come intersezione di due superfici, o meglio, più precisamente, il bordo della superficie ottenuta come intersezione di una regione di spazio e di una superificie.
Questo punto in realtà mi sembra strano, ma mi tocca fare finta di niente.
Quindi, come si parametrizza la curva?? Be', non c'è un modo "meccanico" per farlo, dopo aver cercato un po' in giro per chiarirmi le idee, ho scoperto che in realtà è molto semplice in questo caso di intersezione tra paraboloide e piano.
La proiezione sul piano xy della curva è una circonferenza, di equazione:
$$x^2-x+y^2-y=-\frac{1}{4}$$
Con dei semplici calcoli si scopre che ha centro $(1/2, 1/2)$ e raggio $1/2$ e quindi non resta che scrivere questa circonferenza nel seguente modo:
$$x=\frac{1}{2}(\cos(t)+1) \\
y=\frac{1}{2}(\sin(t)+1)$$
Dove il primo 1/2 moltiplicato per coseno/seno è il raggio, mentre l'altro rappresenta la traslazione.
Per trovare la coordinata z in forma parametrica, basta sostiture le due precedenti, ad esempio, nell'equazione del piano, per trovare:
$$z=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(\sin(t)+\cos(t))$$
Ovviamente si ha $0<=t<=2\pi$.
A questo punto abbiamo trovato la parametrizzazione e adesso viene chiesto di "determinare gli orientamenti possibili". Non so proprio cosa intende. La curva, al variare del parametro $t$, si costruisce diciamo "poco per volta", per come l'ho costruita io lo fa in senso antiorario e si chiude una volta che $t$ arriva a $2\pi$, proprio come crescono gli angoli.
Se la vogliamo al contrario, basta mettere $-t$ al posto di $t$; in altre parole è sufficiente cambiare i segni ai seni.
Che cosa cambia? Il segno dell'integrale!
Adesso tocca proprio a lui; dobbiamo integrare un campo vettoriale su di una curva, ovvero, dal mio punto di vista, calcolare il lavoro svolto dalle forze lungo quel percorso.
Inoltre, mi pare che quando la curva sulla quale si integra è chiusa, si parla di circuitazione e se questa viene 0 il campo vettoriale potrebbe essere conservativo e ammettere potenziale (in realtà, per vedere se è conservativo basta guardarne le derivate parziali e in questo caso svaniscono le speranze di risparmiarsi i calcoli).
L'integrale di linea (di seconda specie) lo possiamo esprimere in diversi modi:
$$\int_\gamma \textbf{F}(\textbf{r})\cdot\mathrm{d}\textbf{r}$$
Intuitivamente puoi vedere il $$\mathrm{d}\textbf{r}$$ come un microspostamento, lo puoi scomporre nelle sue componenti, essendo un vettore, farne il prodotto scalare (per questo l'integrale si può scrivere nell'altro modo con la somma dei dx, dy e dz).
Inoltre, mancando sicuramente di rigore, puoi dire che lo spostamento è $velocità \times tempo$, ovvero $r'(t)dt$; in definitiva, come per magia, l'integrale lo possiamo scrivere così:
$$\int_{t_0}^{t_1} \textbf{F}(\textbf{r}(t))\cdot \textbf{r}'(t)\,dt$$
Che significa, a parole: prendi la curva, sostituisci le coordinate nelle rispettive omonime, nel campo vettoriale. E moltiplica il tutto, scalarmente, per la derivata della curva stessa.
$$\int_\gamma e^{x+y} \,dx + e^{x+y} \, dy + x^4 \, dz=\int_{0}^{2\pi} \Big[-\frac{1}{2} \sin(t) \exp \Big(\frac{1}{2}(2+\sin(t)+\cos(t))\Big) + \, \, ... \, \, \Big]\,\,dt$$
I puntini stanno per le altre due componenti che si sommano normalmente come da prodotto scalare.
Il problema è appunto la schifezza che ora è uscita fuori, a meno che non abbia detto minchiate dall'inizio alla fino od abbia sbagliato i conticini.
Vediamo se riesco a concludere qualcosa con questo esercizio interessante. Spero di non scrivere cavolate, visto che non è proprio il tipo di esercizi che faccio tutti giorni.
La prima cosa che ci viene chiesta è di parametrizzare una curva su $\mathbb{R}^3$ data come intersezione di due superfici, o meglio, più precisamente, il bordo della superficie ottenuta come intersezione di una regione di spazio e di una superificie.
Questo punto in realtà mi sembra strano, ma mi tocca fare finta di niente.
Quindi, come si parametrizza la curva?? Be', non c'è un modo "meccanico" per farlo, dopo aver cercato un po' in giro per chiarirmi le idee, ho scoperto che in realtà è molto semplice in questo caso di intersezione tra paraboloide e piano.
La proiezione sul piano xy della curva è una circonferenza, di equazione:
$$x^2-x+y^2-y=-\frac{1}{4}$$
Con dei semplici calcoli si scopre che ha centro $(1/2, 1/2)$ e raggio $1/2$ e quindi non resta che scrivere questa circonferenza nel seguente modo:
$$x=\frac{1}{2}(\cos(t)+1) \\
y=\frac{1}{2}(\sin(t)+1)$$
Dove il primo 1/2 moltiplicato per coseno/seno è il raggio, mentre l'altro rappresenta la traslazione.
Per trovare la coordinata z in forma parametrica, basta sostiture le due precedenti, ad esempio, nell'equazione del piano, per trovare:
$$z=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(\sin(t)+\cos(t))$$
Ovviamente si ha $0<=t<=2\pi$.
A questo punto abbiamo trovato la parametrizzazione e adesso viene chiesto di "determinare gli orientamenti possibili". Non so proprio cosa intende. La curva, al variare del parametro $t$, si costruisce diciamo "poco per volta", per come l'ho costruita io lo fa in senso antiorario e si chiude una volta che $t$ arriva a $2\pi$, proprio come crescono gli angoli.
Se la vogliamo al contrario, basta mettere $-t$ al posto di $t$; in altre parole è sufficiente cambiare i segni ai seni.
Che cosa cambia? Il segno dell'integrale!
Adesso tocca proprio a lui; dobbiamo integrare un campo vettoriale su di una curva, ovvero, dal mio punto di vista, calcolare il lavoro svolto dalle forze lungo quel percorso.
Inoltre, mi pare che quando la curva sulla quale si integra è chiusa, si parla di circuitazione e se questa viene 0 il campo vettoriale potrebbe essere conservativo e ammettere potenziale (in realtà, per vedere se è conservativo basta guardarne le derivate parziali e in questo caso svaniscono le speranze di risparmiarsi i calcoli).
L'integrale di linea (di seconda specie) lo possiamo esprimere in diversi modi:
$$\int_\gamma \textbf{F}(\textbf{r})\cdot\mathrm{d}\textbf{r}$$
Intuitivamente puoi vedere il $$\mathrm{d}\textbf{r}$$ come un microspostamento, lo puoi scomporre nelle sue componenti, essendo un vettore, farne il prodotto scalare (per questo l'integrale si può scrivere nell'altro modo con la somma dei dx, dy e dz).
Inoltre, mancando sicuramente di rigore, puoi dire che lo spostamento è $velocità \times tempo$, ovvero $r'(t)dt$; in definitiva, come per magia, l'integrale lo possiamo scrivere così:
$$\int_{t_0}^{t_1} \textbf{F}(\textbf{r}(t))\cdot \textbf{r}'(t)\,dt$$
Che significa, a parole: prendi la curva, sostituisci le coordinate nelle rispettive omonime, nel campo vettoriale. E moltiplica il tutto, scalarmente, per la derivata della curva stessa.
$$\int_\gamma e^{x+y} \,dx + e^{x+y} \, dy + x^4 \, dz=\int_{0}^{2\pi} \Big[-\frac{1}{2} \sin(t) \exp \Big(\frac{1}{2}(2+\sin(t)+\cos(t))\Big) + \, \, ... \, \, \Big]\,\,dt$$
I puntini stanno per le altre due componenti che si sommano normalmente come da prodotto scalare.
Il problema è appunto la schifezza che ora è uscita fuori, a meno che non abbia detto minchiate dall'inizio alla fino od abbia sbagliato i conticini.
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