Esercizio integrale

[PrinceOfBorgo]

Salve a tutti! Mi sto trovando in difficoltà con questo integrale \[\mathcal{I} = \int_0^\infty x^2 e^{-x^2}\ \text{d} x\] L'esercizio è strutturato in tre punti e io mi sono già bloccato al primo: verificare che l'integrale è convergente. Ora la prof ha proposto una soluzione che non sono riuscito a comprendere fino in fondo, cito testualmente:

La funzione integranda \(x \mapsto x^2 e^{-x^2}\) è continua e non-negativa in \(\mathbb{R}^+_0\), pertanto basta calcolare il valore \(\mathcal{I}\), visto che serve per il punto (c). Ora \[\mathcal{I} = \int_0^\infty x^2 e^{-x^2}\ \text{d} x\ = \bigg[-\frac{1}{2}x e^{-x^2}\bigg]_0^\infty + \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-x^2}\ \text{d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}\]Dunque l'integrale è convergente.

Bene... leggendo la soluzione la prima cosa che mi è venuta in mente è che abbia integrato per parti ma sinceramente non ho capito che passaggi abbia fatto Mi potete dare qualche delucidazione?

[ELWOOD1]

Ciao, di primo acchito mi viene da pensare che la funzione integranda non abbia una primitiva elementare.
Se non ricordo male dovrebbe rappresentare la funzione gamma:

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_Gamma

[PrinceOfBorgo]

La funzione gamma non l'abbiamo ancora fatta e comunque il mio dilemma era come ha fatto la prof a giungere a quella soluzione con i passaggi sopra indicati... se ha effettivamente integrato per parti l'unico termine che so integrare tra \(x^2\) e \(e^{-x^2}\) è \(x^2\) e quindi se provo a svolgere i conti mi viene \[\int_0^\infty x^2 e^{-x^2}\ \text{d} x\ = \bigg[\frac{x^3}{3} e^{-x^2}\bigg]_0^\infty - \int_0^\infty \frac{x^3}{3}(-2x e^{-x^2}) \text{d} x = \int_0^\infty \frac{2}{3}x^4 e^{-x^2} \text{d} x\]... almeno credo XD

[theras]

Beh..cosi peggiori il tuo problema,e dovrebbe almeno sfiorarti il dubbio d'aver sbagliato a tirare la moneta
(ammesso e non concesso che sia vincente ):
prova a porre $f(x)=x,g'(x)=xe^(-x^2)$ ..
Saluti dal web.

[PrinceOfBorgo]

theras sei un genio! Ora torna!! GRAZIEEEEE!!!! XD