Esercizio integrale

[lex1531]

sia A la parte del cerchio del piano $(x,y)$ con centro nell'origine e raggio 2, costituita dai punti con ordinata non positiva, calcolare

a) $\int\int_{A} \frac{dxdy}{(x^2+y^2+3)^2}$
b) $\int_{\partial A}x^2dy$

a) in coordinate polari ho $x=rhocosvartheta$ , $x=rhosinvartheta$ con $pi $\intint_{A} \frac{1}{(\rho^2cos^2\vartheta+\rho^2sin^2\vartheta+3)^2}\rho d\rho d\vartheta =
\intint_{A}\frac{1}{(\rho^2+3)^2}\rho d\rho d\vartheta = \int_{0}^{2}\rho(\rho^2+3)^-2\int_{\pi}^{2\pi}d\vartheta = \frac{\pi}{2} [ \frac{(\rho+3)^-1}{-1}]_0^2= \frac{2\pi}{21}$

b) avevo pensato di considerare le due curve $gamma_1$ come semicirconferenza del cerchio con ordinata negativa e $gamma_2$ come segmento congiungente i due estremi $(-2,2)$ della semicirconferenza
però ho visto che parametrizzando $gamma_1$ mi viene praticamente come l'area!
dove sbaglio?

[ciampax]

a) Piccolo errore $\int \rho(\rho^2+3)^{-2}\ d\rho=-1/2\int 2\rho(\rho^2+3)^{-2}\ d\rho=-1/2(\rho^2+3)^{-1}$, per il resto tutto corretto.

b) Se poniamo $\gamma_1(t)=(2\sin t,\ 2\cos t)$ con $t\in[\pi,2\pi]$ allora devi avere $\gamma_2(t)=(2-4t,0)$ con $t\in[0,1]$ (in modo che il segmento venga percorso da $2$ a $-2$). Pertanto hai solo l'integrale su $\gamma_1$ (in quanto $dy=0$)

$\int_\pi^{2\pi} 4\sin^2 t\ (-2\sin t) dt=-8\int_pi^{2\pi} (\sin t-\sin t\ \cos^2 t)\ dt=-8[-\cos t+{\cos^3 t}/3]_\pi^{2\pi}=-8(-1+1/3-1+1/3)={32}/3$

[lex1531]

non mi sono chiare due cose:

- perche nella parametrizzazione di $gamma_1$ hai scritto $2sint,2cost)$ e non $(2cost,2sint)$

- $gamma_2$ perche l'hai parametrizzata cosi? io avrei fatto $(x=t,y=0)$ per $-2

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[ciampax]

1) perché è un segmento tutto sull'asse delle $x$? Rifatti il disegno del dominio $A$: esso è una semicirconferenza che ha per diametro l'intervallo $(-2,2)$ sull'asse $x$ e si trova nel semipiano negativo.

2) Sì: quando parametrizzi un bordo fatto di tanti pezzi, devi continuare a seguire il percorso senza cambiare verso. Sulla semicirconferenza, tu vai da $(-2,0)$ a $(2,0)$, questo vuol dire che sul segmento dovrai andare dal punto $(2,0)$ al punto $(-2,0)$, mentre la tua parametrizzazione fa percorrere il segmento nel verso contrario.

Se parametrizzi come hai fatto devi, allora, stare attento a cambiare il segno dell'integrale (qui non succede visto che il secondo integrale è nullo).

[lex1531]

scusami ma la questione della parametrizzazione della semicirconferenza proprio non mi è chiara, io so che la parametrizzazione della circonferenza è $(rhocostheta,rhosintheta)$ con $rho$ distanza dall'origine, in questo caso il raggio quindi $2$ e $theta$ l'angolo che il punto copre per "disegnare" la circonferenza quindi da $pi$ a $2pi$, sbaglio?

[ciampax]

Ah no, scusa, mica mi ero accorto di aver invertito seno e coseno. Sorry, sto veramente rinco!

[lex1531]

meno male! stavo impazzendo ahahahah!!!

[ciampax]

Sì scusa, ma continuavo a pensare al fatto del segmento e non ho neanche guardato quello che ho scritto io!

[lex1531]

vabbe ma di sabato sera a fine settimana è lecito sbagliare! dimostra che anche voi membri di alto rilievo siete umani