Esercizio insoluto
Visto che nel topic Probabilità-Geometria-Analisi l’esercizio 3) non è stato risolto da nessuno lo propongo anche qui (io salvo errori dovrei averlo risolto).
Sia f(x) = arctan( x^2 –(sen x)^2 ) con x >0,
stabilire il carattere della serie
SUM X_n sapendo che f(X_n) = 1/n per n >= 1
Sia f(x) = arctan( x^2 –(sen x)^2 ) con x >0,
stabilire il carattere della serie
SUM X_n sapendo che f(X_n) = 1/n per n >= 1
Risposte
La serie diverge. Verifichiamo innanzitutto che la serie è ben definita, ovvero che:
$\forall n \in NN, \quad\EE! x_n : f(x_n) = 1/n$ . Si ha:
$f'(x) = (2x - sin(2x))/(1+(x^2-sin^2(x))) > 0 \qquad \forall x>0$ , dunque la $f$ è monotona crescente , e dunque iniettiva, in $(0,\infty)$ ; inoltre:
$f(0)=0$ , $lim_{x->\infty} f(x) = \pi/2 \geq 1/n \qquad \forall n \in NN$ , da cui segue la tesi.
Abbiamo che:
$(x_n)^2 - sin^2(x_n) = tan(1/n)$ ; usando Taylor per sviluppare il 1° membro dell'uguaglianza e ricordandosi che $tan(x)$ è asintotica a $x$ per $x->0$ , si ottiene:
$(x_n)^2 - sin^2(x_n) = (x_n)^2 - (x_n - (x_n)^3/6 + o((x_n)^3))^2 = (x_n)^4/3 + o((x_n)^4)$ asintotico a $1/n$ ; da cui:
$lim_{n->\infty} n\cdot (x_n)^4 $ è finito e non nullo e dunque:
$x_n$ è asintotico a $1/(n^{1/4})$ e quindi, per il criterio degli infinitesimi, la serie data diverge.
$\forall n \in NN, \quad\EE! x_n : f(x_n) = 1/n$ . Si ha:
$f'(x) = (2x - sin(2x))/(1+(x^2-sin^2(x))) > 0 \qquad \forall x>0$ , dunque la $f$ è monotona crescente , e dunque iniettiva, in $(0,\infty)$ ; inoltre:
$f(0)=0$ , $lim_{x->\infty} f(x) = \pi/2 \geq 1/n \qquad \forall n \in NN$ , da cui segue la tesi.
Abbiamo che:
$(x_n)^2 - sin^2(x_n) = tan(1/n)$ ; usando Taylor per sviluppare il 1° membro dell'uguaglianza e ricordandosi che $tan(x)$ è asintotica a $x$ per $x->0$ , si ottiene:
$(x_n)^2 - sin^2(x_n) = (x_n)^2 - (x_n - (x_n)^3/6 + o((x_n)^3))^2 = (x_n)^4/3 + o((x_n)^4)$ asintotico a $1/n$ ; da cui:
$lim_{n->\infty} n\cdot (x_n)^4 $ è finito e non nullo e dunque:
$x_n$ è asintotico a $1/(n^{1/4})$ e quindi, per il criterio degli infinitesimi, la serie data diverge.
Riporto anche la mia soluzione (molto simile a quella di Woody) che non fa uso della formula di Taylor:
come ha detto Woody $(x_n)^2 - sin^2(x_n) = tan(1/n)$ , quindi
$(x_n)^2 > tan(1/n)$, ovvero
$x_n > sqrt(tan(1/n))$
la successione a destra è infinitesima di ordine $1/2$, quindi la serie diverge.
scusa la mia ignoranza Woody, il tuo avatar è un matematico, giusto? Ma chi è?
come ha detto Woody $(x_n)^2 - sin^2(x_n) = tan(1/n)$ , quindi
$(x_n)^2 > tan(1/n)$, ovvero
$x_n > sqrt(tan(1/n))$
la successione a destra è infinitesima di ordine $1/2$, quindi la serie diverge.
scusa la mia ignoranza Woody, il tuo avatar è un matematico, giusto? Ma chi è?
Il mio Avatar è un matematico vissuto fra a cavallo fra il 17° e il 18° secolo, dedito alla musica: Johann Sebastian Bach.
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