Esercizio insiemistica.

[_GaS_11]

Sia '' $D$ '' il dominio della funzione: '' $f(x)=x/(x^2+log(e^a+2/5))$ '' e sia '' $A:=f(D)$ '' l'immagine di '' $D$ '' tramite '' $f$ ''. Determinare al variare del parametro reale '' $a$ '', l'estremo superiore e l'estremo inferiore dell'insieme '' $A$ '', specificando se si tratta di massimo o minimo.
Intanto ci sono possibilità che il denominatore sia negativo, infatti basta che l'argomento del logaritmo sia minore di '' $1$ '':
$e^a<1-2/5=3/5$. Da cui i casi:
$ax^2!=-log(e^a+2/5)$.
$a>=log(e^a+2/5)$. La funzione è definita '' $AAx(in)RR$ ''.
Per gli estremi:
- $a=log3/5=>lim_{xto0-}x/(x^2+log(e^a+2/5))=-oo;lim_{xto0+}x/(x^2+log(e^a+2/5))=+oo$. Quindi: $INFA=-oo;SUPA=+oo;MINA=MAXA=varphi$. Infatti, in questo caso, il logaritmo rende '' $0$ '', poiché l'argomento è '' $1$ ''.
Negli altri due casi come faccio a trovare gli estremi? Io ho pensato, ma non sono sicuro, di derivare la funzione e porla equivalente a '' $0$ '', in questo modo dovrei ricavare le '' $x$ '' per le quali la funzione rende gli estremi. Anche se così mi sembra troppo lungo.

[ciampax]

Ma non è più semplice studiarsi la monotonia della funzione $f$? A prescindere da tutti i ragionamenti, tale ragionamento fornisce sicuramente massimi/minimi e estremi.