ESERCIZIO INDUZIONE

[icaf]

Qualcuno può aiutarmi a svolgere questo esrcizio con i vari passaggi: PASSO BASE, PASSO INDUTTIVO (ipotesi induttiva, tesi induttiva, dimostrazione del passo)??
Riesco solo a fare il passo base ponendo n=1 ma il resto non riesco a farlo
L'esercizio è allegato come immagine.
Grazie

[carlogiannini]

Per dimostrare una "proposizione" (o "affermazione") col metodo "per induzione" bisogna:
1) PASSO BASE: innanzitutto VERIFICARE che ha senso (è VERA) a partire da un certo PUNTO (numero) in poi.
ESEMPIO (banale)
Se voglio dimostrare che
2n > 7
devo trovare il PASSO BASE (di partenza) provando:
2x0 > 7 FALSO
2x1 > 7 FALSO
2x2 > 7 FARLO
2x3 > 7 FALSO
2x4 > 7 VERO
.
Verificato che la proposizione P(n) ha senso (almeno per n = 4) proviamo a dimostrare che (0 se) vale SEMPRE per ogni n > 4 formulando la
2) TESI INDUTTIVA
Se P(n) è VERA, allora è VERA anche P(n+1)
nel nostro esempio
se 2n > 7
allora
2(n+1) > 7
DIMOSTRAZIONE
2(n+1) > 7
diventa
2n+2 > 7
Per la nostra ipotesi
2n > 7
quindi sostituisco
(7) + 2 > 7
9 > 7 VERO.
.
Nell'esercizio che hai postato la Proposizione da dimostrare è abbastanza banale, in quanto la somma di un NUMERO dispari di VALORI dispari è ovviamente dispari.
La dimostrazione è altrettanto semplice PERO' (e c'è un PERO') bisogna stare attenti al fatto che "n" è DISPARI cioè
n = 2m + 1
e noi dobbiamo ragionare su "m" e non su "n"
Cerco di spiegarmi meglio
m=0 ---> n=1
m=1 ---> n=2(1)+1=3
m=2 ---> n=2(2)+1=5
m=3 ---> n=7
ecc. ecc
.
Allora:
1)

[math]\sum_{i=1}^{3} a_i=a_1+a_2+a_3=dispari\ .\ .\ (VERA)

\\per \ m=1[/math]

.
.
2)
TESI
.

[math]\sum_{i=1}^{2m+1} a_i=dispari\\allora\\\sum_{i=1}^{2m+3} a_i=dispari\\.\\DIMOSTRAZIONE\\.\\\sum_{i=1}^{2m+3} a_i=\sum_{1=1}^{2m+1} a_1\ +a_{2m+2}+a_{2m+3}\\[/math]

.
.
Ciò è sicuramente VERO perché ad un numero dispari aggiungo DUE numeri dispari, quindi la somma è sicuramente dispari.
.
ATTENZIONE: probabilmente ho fatto un po' di casini con gli indici, quindi controlla bene e modificali all'occorrenza.
Comunque il concetto è che:
tra due numeri dispari consecutivi c'è sempre un numero pari, quindi la mia sommatoria contiene sempre un numero dispari di addendi, quindi la somma è sempre sicuramente dispari.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

- Dimostrazione per induzione -

1. Base dell'induzione:

[math]n = 1[/math]

.

[math]\begin{aligned} \sum_{i = 1}^1 a_i = a_1 \end{aligned}\\[/math]

è dispari: ok!

2. Ipotesi induttiva:
supponiamo che

[math]\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n a_i\end{aligned}[/math]

sia dispari per qualche

[math]n \ge 1[/math]

, con

[math]n\\[/math]

dispari.

3. Prova che l'ipotesi vale per il prossimo numero dispari dopo n.
Se

[math]n[/math]

è dispari allora il prossimo numero dispari è

[math]n + 2[/math]

. Dato che si ha

[math]\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n + 2} a_i = \sum_{i = 1}^n a_i + a_{n + 1} + a_{n + 2}\end{aligned}[/math]

ove la sommatoria a secondo membro
porta ad un numero dispari per ipotesi e la somma degli altri due termini è pari
(perché somma di due numeri dispari), allora la somma totale porta ad un nu-
mero dispari (perché somma di un numero dispari e di un numero pari), come
volevasi dimostrare.


- Dimostrazione alternativa -

Ponendo

[math]\small n = 2m + 1[/math]

e

[math]\small a_i = 2k_i + 1[/math]

per

[math]\small i = 1,\,\dots,\,n[/math]

, allora segue che:

[math]\small \begin{aligned} \sum_{i = 1}^n a_i = \sum_{i = 1}^{2m + 1} (
2k_i + 1) = 2 \sum_{i = 1}^{2m + 1} k_i + \sum_{i = 1}^{2m + 1} 1 = 2(S) + (2m + 1) = 2(S + m) + 1 \end{aligned}\\[/math]

.
Dato che ogni naturale moltiplicato per due porge un numero pari, aggiun-
gendovi uno si ottiene un numero dispari, come volevasi dimostrare. ;)