Esercizio Induzione

[innavoig.s]

Buonasera!

Non ho capito alcuni passaggi che fa la mia prof di analisi nel seguente esercizio da dimostrare con l'induzione:
\(\displaystyle logn +2^n -3^n +n <= 0 \)

Riporto i passaggi per intero:
Per n=1 \(\displaystyle log1 +2 -3 +1 = 0 \) VERA

sia Pn vera -> HP \(\displaystyle logn +2^n -3^n +n <= 0 \)
TS $ log(n+1) +2^(n+1) -3^(n+1) +n +1 <= 0$

Procedimento:
$ log(n(1+1/n)) +2*2^(n) -3*3^(n) +n +1 <= 0$
$ log(n) +log(n(1+1/n)) +2^(n) +2^(n) -2*3^(n)-3^n +n +1 <= log((1+1/n))+2^(n)-3^n-3^n+n+1 <= $
$log(2)-3^n+1 <= 1-3^n+1<=2-3^n<=0$ VERA

Non capisco dal secondo rigo in poi del procedimento,
grazie!

[_prime_number]

Credo tu abbia trascritto male (oppure è stata la professoressa): dopo la prima riga, ti ritrovi l'espressione:
$log n + log(1+1/n) +$ (questo per la proprietà dei logaritmi $log (ab) = log a + log b$)
$+2^n+2^n - 2\cdot 3^n- 3^n + n+1$ (qui ha semplicemente scomposto $2\cdot 2^n$ e $3^n$)
Dopo di che ricorda l'ipotesi induttiva: $log n +2^n -3^n +n$ è una quantità negativa, quindi si ha che
$log n + log(1+1/n) +2^n+2^n - 2\cdot 3^n- 3^n + n+1 = (log n +2^n- 3^n+ n)+ log(1+1/n) +2^n - 2\cdot 3^n +1\leq $
$\leq log(1+1/n) +2^n - 2\cdot 3^n +1\leq $(usiamo il fatto che la funzione $x\mapsto log x$ è crescente e che $1+1/n\leq 2$)
$\leq log 2+2^n - 2\cdot 3^n +1\leq$ (usiamo il fatto che $2^n -3^n \leq 0$ e che $log 2\leq 0$)
$\leq -3^n +1\leq 0$

Paola

[innavoig.s]

si era proprio l'errore nella proprietà dei logaritmi.
grazie tanto!
Buona serata