Esercizio: Il limite in due variabili
Stavo provando esercizi semplici avendo affrontato oggi lo studio di limiti in due variabili, ma mi sono arenato in questo esercizio serale.
La verifica, una di quelle insegnate, può avvenire stando alla teoria:
se
$|f(x)-L|<=g(x) e lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) g(x,y)=0 => lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) f(x,y)=L$
Io ho $lim_((x,y)rarr(0,0)) y^4/(x^2+y^4)$ ho maggiorato e arrivo ad avere $lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) y^4/y^4$ a questo punto il limite non è 1?
Invece non dovrebbe esistere, e lo vedopercorrendo due curve in direzioni diverse. Non capisco dove erro.
Grazie e buona notte ragazzi
La verifica, una di quelle insegnate, può avvenire stando alla teoria:
se
$|f(x)-L|<=g(x) e lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) g(x,y)=0 => lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) f(x,y)=L$
Io ho $lim_((x,y)rarr(0,0)) y^4/(x^2+y^4)$ ho maggiorato e arrivo ad avere $lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) y^4/y^4$ a questo punto il limite non è 1?
Invece non dovrebbe esistere, e lo vedopercorrendo due curve in direzioni diverse. Non capisco dove erro.
Grazie e buona notte ragazzi
Risposte
Che maggiorazioni hai usato mai? Questo limite si fa agevolmente in coordinate polari: \[\displaystyle \frac{y^4}{x^2+y^2} \Rightarrow \text{[coordinate polari]}\Rightarrow \frac{\rho^4\sin^4\theta}{\rho^2}=\rho^2\sin^4\theta\le \rho^2\rightarrow0 \]
E hai perfettamete ragione perché sarebbe più facile, però era richiesto espressamente di risolverlo con maggiorazioni e non polari, non lo avevo specificato, scusa!:)
Inoltre il risultato dovrebbe essere che non esiste!
Inoltre il risultato dovrebbe essere che non esiste!
Perché sostieni che il limite non esiste?
"Weierstress":
Perché sostieni che il limite non esiste?
Perché col LaTex ho sbagliato a scriverlo
pardon 
Ora forse riuscirai ad aiutarmi (ho editato il primo messaggio)
Ciao marex,
La cosa più comoda mi pare considerare $y = m sqrt{x} $
Così facendo, con la nuova versione del limite (quella precedente risulta $0$ come giustamente scritto da Weierstress), si ha:
$ lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{y^4}{x^2 + y^4} = lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{m^4 x^2}{x^2 + m^4 x^2} = frac{m^4}{1 + m^4} $
Dato che chiaramente il risultato del limite dipende dal valore di $m$, si conclude che il limite proposto non esiste.
La cosa più comoda mi pare considerare $y = m sqrt{x} $
Così facendo, con la nuova versione del limite (quella precedente risulta $0$ come giustamente scritto da Weierstress), si ha:
$ lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{y^4}{x^2 + y^4} = lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{m^4 x^2}{x^2 + m^4 x^2} = frac{m^4}{1 + m^4} $
Dato che chiaramente il risultato del limite dipende dal valore di $m$, si conclude che il limite proposto non esiste.
Voglio comunque fare notare che la sola disuguaglianza
\[
\frac{y^4}{x^2+y^4}\le 1, \]
che è vera, può solo fare concludere che il limite, **se esiste**, è più piccolo di \(1\).
\[
\frac{y^4}{x^2+y^4}\le 1, \]
che è vera, può solo fare concludere che il limite, **se esiste**, è più piccolo di \(1\).
Grazie mille,
Non capisco però dove sbaglio facendo le maggiorazioni, in teoria dovrei giungere a qualcosa di impossibile, invece trovo limite 1, e non capisco il perché di quel valore.
Mi piacerebbe trovare il mio errore concettuale.
Non capisco però dove sbaglio facendo le maggiorazioni, in teoria dovrei giungere a qualcosa di impossibile, invece trovo limite 1, e non capisco il perché di quel valore.
Mi piacerebbe trovare il mio errore concettuale.
"marex":
Grazie mille,
Prego
"marex":
Non capisco però dove sbaglio facendo le maggiorazioni
Non sbagli, infatti si ha:
$ lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{y^4}{x^2 + y^4} < lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{y^4}{y^4} = 1 $
e questo, come ti ha scritto giustamente dissonance, ti dice solo che il valore del limite, qualora esistesse, sarebbe minore di $1$, cosa che fra l'altro ottieni anche nel caso che ti ho mostrato nel mio post precedente:
$ lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{y^4}{x^2 + y^4} = lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{m^4 x^2}{x^2 + m^4 x^2} = frac{m^4}{1 + m^4} < 1 $
"marex":
invece trovo limite 1
Questo è falso: trovi che il valore del limite è minore di $1$ e se vuoi anche maggiore od uguale a $0 $ visto che sono tutte quantità positive, ma non hai trovato il suo valore, che in effetti non esiste...
"pilloeffe":
Non sbagli, infatti si ha:
$ lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{y^4}{x^2 + y^4} < lim_{(x, y) \to (0,0)} frac{y^4}{y^4} = 1 $
Questa scrittura, però, non mi piace tanto. Non sai ancora se il limite esiste, difatti a posteriori non esiste. Quindi non puoi scrivere \(\lim_{(x, y)\to 0} f(x, y)\) in una disuguaglianza. È un po' come dividere per zero, non so se mi spiego.
Quello che puoi scrivere (ma qui si va un po' sull'avanzato) è questo:
\[
\mathrm{limsup}_{(x, y) \to (0,0)}\frac{y^4}{x^2 + y^4} \le \mathrm{limsup}_{(x, y) \to (0,0)} \frac{y^4}{y^4} = 1,
\]
perché il limsup esiste sempre (eventualmente \(+\infty\)) e rispetta le disuguaglianze. Mi accorgo adesso di un errore più grave: nel passaggio al limite, perdi la disuguaglianza stretta.
Grazie mille, mi ero proprio incastrato in un ragionamento semplice.
Grazie per aver fatto chiarezza
Buon pomeriggio
Grazie per aver fatto chiarezza
Buon pomeriggio
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