Esercizio Hessiano nullo
Ciao ragazzi, stavo svolgendo un esercizio di ricerca dei massimi e minimi e sono incappato in un Hessiano nullo, qualcuno può gentilmente spiegarmi come procedere:
$ f(x,y)=2(y^2+x^2-2xy)-x^4-y^4+15 $
Ho cercato di utilizzare il metodo delle rette ma non so come procedere, ho calcolato $ f(t,0) $ e ho trovato due valori della $ t $ entrambi positivi, come devo dunque procedere?
Potreste inoltre gentilmente dirmi come si utilizza il metodo delle rette nel caso di Hessiano nullo, per togliere ogni mio dubbio?
Grazie in anticipo.
$ f(x,y)=2(y^2+x^2-2xy)-x^4-y^4+15 $
Ho cercato di utilizzare il metodo delle rette ma non so come procedere, ho calcolato $ f(t,0) $ e ho trovato due valori della $ t $ entrambi positivi, come devo dunque procedere?
Potreste inoltre gentilmente dirmi come si utilizza il metodo delle rette nel caso di Hessiano nullo, per togliere ogni mio dubbio?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao, se hai voglia scrivi i tuoi calcoli, così è più facile darti indicazioni (e non li dobbiamo rifare tutti anche noi )...
Per quanto riguarda il "metodo" delle rette: se sospetti che il punto sia di sella, non devi far altro che cercare una retta lungo cui il punto critico sia massimo e una lungo cui sia minimo. Se non riesci a trovarle, il tuo punto critico potrebbe essere un estremo.
)...Per quanto riguarda il "metodo" delle rette: se sospetti che il punto sia di sella, non devi far altro che cercare una retta lungo cui il punto critico sia massimo e una lungo cui sia minimo. Se non riesci a trovarle, il tuo punto critico potrebbe essere un estremo.
Ho trovato $ p = (0,0) $ punto critico della funzione, ho costruito la matrice Hessiana con le seguenti derivate:
$ (partial^2 f)/(partial x) (x,y) = 4 - 12x^2 $
$ (partial^2 f)/(partial y) (x,y) = 4 - 12y^2 $
$ (partial^2 f)/(partial yx) (x,y) =(partial^2 f)/(partial xy) (x,y) = -4 $
E risulta appunto nullo l'Hessiano, poi non so bene come procedere. Provo ad utilizzare il metodo delle rette, ad esempio (sempre se così è giusto):
$ f(t,0) = 2t^2-t^4 +15 $
Adesso che devo fare? Sempre se è il modo giusto di applicare tale metodo; devo trovare i valori di $ t $ e se sono diversi deduco che è un punto di sella?
$ (partial^2 f)/(partial x) (x,y) = 4 - 12x^2 $
$ (partial^2 f)/(partial y) (x,y) = 4 - 12y^2 $
$ (partial^2 f)/(partial yx) (x,y) =(partial^2 f)/(partial xy) (x,y) = -4 $
E risulta appunto nullo l'Hessiano, poi non so bene come procedere. Provo ad utilizzare il metodo delle rette, ad esempio (sempre se così è giusto):
$ f(t,0) = 2t^2-t^4 +15 $
Adesso che devo fare? Sempre se è il modo giusto di applicare tale metodo; devo trovare i valori di $ t $ e se sono diversi deduco che è un punto di sella?
Veramente, dovresti studiare la funzione $f(t,0)$ e capire se per quella funzione $(0,0)$ è minimo, massimo o che altro.
Poi: quella funzione ha anche altri punti stazionari: hai provato con gli altri?
Poi: quella funzione ha anche altri punti stazionari: hai provato con gli altri?
Quindi devo fare la derivata di $ f(t,0) $? E poi come procedo?
Comunque si, ho trovato altri due punti critici $ p2 = (sqrt2/2,sqrt2); p3 = (-sqrt2/2,-sqrt2) $ entrambi di massimo.
Non ho ben capito come funziona il metodo delle rette per Hessiano nullo
Comunque si, ho trovato altri due punti critici $ p2 = (sqrt2/2,sqrt2); p3 = (-sqrt2/2,-sqrt2) $ entrambi di massimo.
Non ho ben capito come funziona il metodo delle rette per Hessiano nullo
Cerchiamo l'interpretazione grafica del metodo:
stiamo restringendo l'attenzione a una direzione fissata. Questo significa che ci portiamo in un caso monovariabile, con una funzione dell'analisi 1.
Se il punto fosse di massimo, la funzione deve assumere valori inferiori in OGNI altro suo punto. Ma allora, anche sulla direzione fissata la funzione deve assumere valori inferiori $->$ il punto candidato massimo deve essere un massimo per ciascuna direzione fissata. Se trovo una direzione lungo cui questo non è massimo, ho dimostrato che quel punto è di sella, perché sebbene sia punto critico, esistono punti in cui la funzione è maggiore o minore del presunto estremo.
Operativamente quindi dovremo studiare una funzione in una singola variabile, e cercare di capire se il candidato estremo è per quella funzione un massimo, un minimo o un flesso. Per fare questo ci affidiamo alle tecniche dell'analisi 1, quindi studio della derivata prima e eventualmente della derivata seconda.
stiamo restringendo l'attenzione a una direzione fissata. Questo significa che ci portiamo in un caso monovariabile, con una funzione dell'analisi 1.
Se il punto fosse di massimo, la funzione deve assumere valori inferiori in OGNI altro suo punto. Ma allora, anche sulla direzione fissata la funzione deve assumere valori inferiori $->$ il punto candidato massimo deve essere un massimo per ciascuna direzione fissata. Se trovo una direzione lungo cui questo non è massimo, ho dimostrato che quel punto è di sella, perché sebbene sia punto critico, esistono punti in cui la funzione è maggiore o minore del presunto estremo.
Operativamente quindi dovremo studiare una funzione in una singola variabile, e cercare di capire se il candidato estremo è per quella funzione un massimo, un minimo o un flesso. Per fare questo ci affidiamo alle tecniche dell'analisi 1, quindi studio della derivata prima e eventualmente della derivata seconda.
Ok grazie della spiegazione 
Adesso è chiaro
Adesso è chiaro
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