Esercizio geometria analitica (54012)

[miik91]

Salve a tutti. Avrei un problema con un esercizio di geometria che non riesco a risolvere. L esercizio è il seguente:

Proiettare il punto (2,0,1) sulla retta di eqauzioni :

[math] x+y-z-7=0 [/math]

[math] x-3y-2z=0 [/math]

Qualcuno potrebbe aiutarmi?? Grazie a tutti in anticipo.

[Newton_1372]

La nostra retta sarà l'intersezione tra 1quei due piani, quidi la prima cosa da fare è

[math]\begin{cases}x+y-z-7=0\\x-3y-2z=0\end{cases}[/math]

.
Credo convenga procedere per sottrazione. In questo modo ottengo l'equazione della nostra retta:

[math]4y+z-7=0[/math]

[ciampax]

Newton.... ma che stai a dì???? Una retta nello spazio, per essere data da una equazione cartesiana, deve essere espressa come intersezione di due piani. Quello che hai scritto tu è un piano!!!!!!!!

Il ragionamento da fare, invece è il seguente (te lo spiego in generale): consideriamo una retta data sotto la seguente forma:

[math]r:\ \left\{\begin{array}{l}
ax+by+c+d=0\\ a' x+b' y+c' z+d'=0
\end{array}\right.[/math]

I vettori

[math]\mathbf{n}=(a\ b\ c),\qquad \mathbf{n}'=(a'\ b'\ c')[/math]

rappresentano i vettori normali ai piani in cui compaiono nella definizione, mentre il vettore

[math]\mathbf{r}=\mathbf{n}\times\mathbf{n}'[/math]

(prodotto vettoriale)

rappresenta il vettore direzione della nostra retta.
Ora facciamo un semplice ragionamento: dal momento che la proiezione ortogonale di un punto su una retta coincide con il punto di intersezione tra la retta data e una retta passante per il punto dato e ortogonale alla retta iniziale, allora se indichiamo con

[math]\mathbf{v}=(\ell\ m\ n)[/math]

il vettore direzione della retta passante per il punto

[math]P(\alpha,\beta,\gamma)[/math]

essa è perpendicolare ad

[math]r[/math]

se e solo se

[math]0=\mathbf{r}\bullet\mathbf{v}[/math]

(prodotto scalare).

Ma questo vuol dire che il vettore

[math]\mathbf{v}[/math]

deve essere combinazione linerare dei due vettori

[math]\mathbf{n},\ \mathbf{n}'[/math]

: infatti, dal momento che il prodotto vettoriale restituisce un vettore perpendicolare al piano che contine i due vettori di cui risulta prodotto, ne segue che essendo

[math]\mathbf{r}\bot\mathbf{v}[/math]

allora

[math]\mathbf{v}[/math]

giace nel piano formato dai vettori

[math]\mathbf{n},\ \mathbf{n}'[/math]

e quindi il vettore

[math]\mathbf{r}[/math]

rappresenta la sua normale.

Ora, se hai tre piani e li intersechi ciò che ottieni è un punto (se i piani non sono paralleli, ovviamente). Allora costruiamo il piano passante per

[math]P[/math]

e ortogonale alla retta data: su di esso si troverà la retta che cerchiamo (passante per il punto e ortogonale alla retta data) e in più la sua intersezione con gli altri due piani ci fornirà il punto propiezione di

[math]P[/math]

.

Abbiamo

[math]\mathbf{r}=\mathbf{n}\times\mathbf{n}'=(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+c\mathbf{k})\times(a'\mathbf{i}+b'\mathbf{j}+c'\mathbf{k})=\\
=(bc'-cb')\mathbf{i}+(ca'-ac')\mathbf{j}+(ab'-ba')\mathbf{k}[/math]

e quindi

[math]\mathbf{r}=(bc'-cb'\ ca'-ac'\ ab'-ba')[/math]

. Inoltre per determinare l'equazione del terzo piano abbiamo al relazione

[math]\mathbf{r}\bullet(x-\alpha\ y-\beta\ z-\gamma)=0[/math]

da cui

[math](bc'-cb')x+(ca'-ac')y+(ab'-ba')z-[(bc'-cb')\alpha+(ca'-ac')\beta+(ab'-ba')\gamma]=0[/math]

Usando tale equazione e mettendola a sistema con le altre due ottieni il punto cercato.