Esercizio $f(x)$.. dubbio calcolo $D(f^(-1))(x_0)$

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi trovo di fronte a questo esercizio che non so se l'ho svolto correttamente, soprattutto alla terza domanda. Controllate e ditemi per favore. Grazie in anticipo.

Sia $f:[1/2,+\infty)\to\mathbb{R}$ definita da $f(x)=x^2+(\sin x)(\cos x)$

1. Dimostrare che $f$ è iniettiva
2. Determinare l'insieme $A=f([1/2,+\infty))$
3. Calcolare $D(f^(-1))(\pi^2/16+1/2)$, ove $f^(-1) $ denota la funzione inversa di $f:[1/2,+\infty)\to A$


ho pensato di svolgere così l'esercizio

PUNTO 1
ho calcolato la derivata prima che è $f'(x)=2x+cos^2x - \sin^2 x=2x+cos(2x)$

dove ho detto che $f'(x)>0$.. cioè $2x+\cos(2x)>0$.. $\forall x\in[1/2,+\infty)$..cioè è monotona crescente in tale intervallo e quindi è iniettiva.

PUNTO 2
ho calcolato il codominio, cioè $A=f([1/2,+\infty))=[1/4+(\sin (1/2))(\cos (1/2)),+\infty)$

PUNTO 3.. ecco su questo punto non so se ho fatto correttamente.. ditemi voi

devo applicare la formula $D f^(-1)(y_0)=(1)/(Df(x_0))$

quindi faccio $f(x)=\pi^2/16+1/2\to x^2+(\sin x)(\cos x)=\pi^2/16+1/2$

ecco qui diciamo che per ricavare il valore, l'ho fatto a pezzi e poi ho sommato..in poche parole ho fatto

$x^2=\pi^2/16\to x=\pi/4$

poi $(\sin x)(\cos x)=1/2 \to x= \pi/4$

quindi $x_0=\pi/4+\pi/4=\pi/2$

e quindi trovo $D(f^(-1))(\pi^2/16+1/2)=(1)/(2(\pi/2)+\cos(2(\pi/2)))=(1)/(\pi+\cos\pi)=(1)/(\pi-1)$

È corretto il punto 3?..
Ripeto grazie in anticipo.

[theras]

Tutto corretto,direi
(qualche piccolo appunto formale andrebbe fatto,ma è solo questione di gusto e,dato che le idee di base sono buone,
non mi pare valga la pena di perderci tempo),
tranne il fatto che,avendosi come hai giustamente scritto $f(pi/4)=(pi^2)/(16)+1/2$ e $pi/4>1/2$,
sarà per definizione $f^(-1)((pi^2)/(16)+1/2)=pi/4$(e dunque $(f^(-1))'((pi^2)/(16)+1/2)=..=2/pi$:
perchè allora poni $x_0=pi/2$?
Saluti dal web.
Edit:
corretto errore di conto.

[21zuclo]

"theras":Tutto corretto,direi
(qualche piccolo appunto formale andrebbe fatto,ma è solo questione di gusto e,dato che le idee di base sono buone,
non mi pare valga la pena di perderci tempo),
tranne il fatto che,avendosi come hai giustamente scritto $f(pi/4)=(pi^2)/(16)+1/2$ e $pi/4>1/2$,
sarà per definizione $f^(-1)((pi^2)/(16)+1/2)=pi/4$(e dunque $(f^(-1))'((pi^2)/(16)+1/2)=..=1/pi$:
perchè allora poni $x_0=pi/2$?
Saluti dal web.

cavolo allora è $x=\pi/4$

per cui si ha $(1)/(D(f(\pi/4)))=(1)/(2(\pi/4)+\cos(2\pi/4))=(1)/(\pi/2+\cos(\pi/2))=(1)/(\pi/2)=2/\pi$

perchè a me viene $2/\pi$, mentre a te viene $1/\pi$ ?

cmq ok capito l'errore!.. grazie!

[theras]

Perchè son stato troppo frettoloso nei conti,e me ne scuso se la cosa t'ha messo in difficoltà:
grazie per la correzione,comunque.
Saluti dal web.