Esercizio furbetto (ottimizzazione libera)
Evidentemente l'esercizio che vi ho proposto questa mattina nn vi ispirava 
.. ergo.. tento con il seguente (vi prego di aiutarmi perchè il tempo scorre e l'esame è solo tra una settimana!):
Sia H una matrice quadrata di ordine n, reale e simmetrica.
Se x€R^n\(0), sia
F(x)=(x(trasposto)Hx)/||x||^2
Dimostrare che a è stazionario per F se e solo se F(a) è un autovalore di H con autovettore a.
Grazie a chiunque si prenda la briga di mostrarmi come si risolve questo e/o l'altro esercizietto che ho proposto oggi..
Buona giornata
Common sense is not so common - Voltaire
.. ergo.. tento con il seguente (vi prego di aiutarmi perchè il tempo scorre e l'esame è solo tra una settimana!):Sia H una matrice quadrata di ordine n, reale e simmetrica.
Se x€R^n\(0), sia
F(x)=(x(trasposto)Hx)/||x||^2
Dimostrare che a è stazionario per F se e solo se F(a) è un autovalore di H con autovettore a.
Grazie a chiunque si prenda la briga di mostrarmi come si risolve questo e/o l'altro esercizietto che ho proposto oggi..
Buona giornata
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Risposte
Ciao non mi è chiaro "F(a) stazionario sse F(a) autovettore relativo a autovalore a". Se intendi con F(a) l'autovettore quale dovrebbe essere l'autovalore relativo?
Marco
Marco
No.. io devo dimostrare che
a è stazionario sse F(a) è l'AUTOVALORE relativo all'AUTOVETTORE a
grazie, ciao
Common sense is not so common - Voltaire
a è stazionario sse F(a) è l'AUTOVALORE relativo all'AUTOVETTORE a
grazie, ciao
Common sense is not so common - Voltaire
Scusa.. ma dove è finita la tua risposta? stavo leggendola in questo momento ma è svanita nel nulla dopo la prima riga ... aiutoooo!
Common sense is not so common - Voltaire
... aiutoooo!Common sense is not so common - Voltaire
Scusami l'avevo cancellata per errore...
Te la riscrivo.
Marco
Te la riscrivo.
Marco
Se H è simmetrico è diagonalizzabile. Allora è possibile scrivere F come F(x) = xT H x / ||x||^2 dove stavolta H è diagonale su una certa base di autovettori ( ortonormale).
Allora diventa qualcosa come F(x) = a1*x1^2 + ... an*xn^2 / ||x||^2. Ora dal momento che è stazionario, tu sai che il suo gradiente è 0 x ipotesi. Facendo i conti
dF/dxi = 0 se e solo se ai*||x||^2 - (a1*x1^2 + ... +an*xn^2 ) = 0
Ma dal momento che deve valere per ogni i, e a1*x1^2+ ... è uguale in ogni equazione si ricava che a1 = a2= a3 ... = an chiamiamolo A ( è scalare).
Ma allora ricavi che F(x)=A se x stazionario. E anche che Hx = Ax.
da questo dovrebbe conseguire che se x è stazionario allora è un autovettore di H relativamente a F(x) . O meglio F(x) è il suo autovalore.
Marco
Allora diventa qualcosa come F(x) = a1*x1^2 + ... an*xn^2 / ||x||^2. Ora dal momento che è stazionario, tu sai che il suo gradiente è 0 x ipotesi. Facendo i conti
dF/dxi = 0 se e solo se ai*||x||^2 - (a1*x1^2 + ... +an*xn^2 ) = 0
Ma dal momento che deve valere per ogni i, e a1*x1^2+ ... è uguale in ogni equazione si ricava che a1 = a2= a3 ... = an chiamiamolo A ( è scalare).
Ma allora ricavi che F(x)=A se x stazionario. E anche che Hx = Ax.
da questo dovrebbe conseguire che se x è stazionario allora è un autovettore di H relativamente a F(x) . O meglio F(x) è il suo autovalore.
Marco
grazie millerrime, soprattutto perchè sono contenta che qualcuno abbia risposto a una mia domanda in maniera "costruttiva"! Devo dargli il tempo di sedimentare.. ma penso che come idea funzioni!!
Have a wonderful day, you deserve it
Common sense is not so common - Voltaire
Have a wonderful day, you deserve it
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Grazie 1000... In bocca al lupo con l'esame e a presto!
Marco
Marco
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