Esercizio funzioni implicite
Primo esercizio sulle funzioni implicite e non ho capito un tubo per come lo risolve il libro....
Testo:
Considerata l'equazione
$F(x,y) = (x^2 /4) + y^2 - 1 = 0$
si applichi il teorema del Dini e si determini la funzione implicita da essa definita, ove possibile.
faccio il disegno => è un'ellisse
$F_y = 2 y$
voglio trovare $y'$
derivo rispetto ad $x$ e viene:
$2 x/4 + 2y y' = 0$ => $y' = - x/(4y)$
che è un'equazione differenziale del primo ordine
mi dite come il libro arriva a trovare:
$y = sqrt(4-x^2) /2$ se l'ordinata è negativa
$y = -sqrt(4-x^2) /2$ se l'ordinata è positiva
anche qualche suggerimento x'd
Testo:
Considerata l'equazione
$F(x,y) = (x^2 /4) + y^2 - 1 = 0$
si applichi il teorema del Dini e si determini la funzione implicita da essa definita, ove possibile.
faccio il disegno => è un'ellisse
$F_y = 2 y$
voglio trovare $y'$
derivo rispetto ad $x$ e viene:
$2 x/4 + 2y y' = 0$ => $y' = - x/(4y)$
che è un'equazione differenziale del primo ordine
mi dite come il libro arriva a trovare:
$y = sqrt(4-x^2) /2$ se l'ordinata è negativa
$y = -sqrt(4-x^2) /2$ se l'ordinata è positiva
anche qualche suggerimento x'd
Risposte
Fatta $F_y$ (continua), a te interessa dove essa non cambia segno per applicare il teorema (quindi i due aperti ${y>0},{y<0}$).
Semplicemente riprendi la prima equazione ed espliciti $y$, tenendo conto dell'aperto in cui ti trovi.
Paola
Semplicemente riprendi la prima equazione ed espliciti $y$, tenendo conto dell'aperto in cui ti trovi.
Paola
Scusa se do la risposta solo ora, ma solo ora ho notato che qualcuno l'aveva risposta *_*
domanda:
è un'equazione a variabili separabili, ti trovi?
perchè nella soluzione se la svolgo io mi esce la costante $c'$ e il libro non la riporta affatto?
cioè per me la soluzione si scrive così:
$y(x) = sqrt((-x^2)/2 + 2c')$
$y(x) = -sqrt((-x^2)/2 + 2c')$
altra domanda, avendo trovato inizialmente la $F_y = 2 y$ io devo da qui vedere per quali $y$ la coordinata di un generico punto $(x_0,y_0)$ deve essere diversa da $0$ giusto?
Nel nostro caso è $2 y=\0$ quindi si ha $y=\0$ [non riesco a mettere 'diverso da'....
]
domanda:
è un'equazione a variabili separabili, ti trovi?
perchè nella soluzione se la svolgo io mi esce la costante $c'$ e il libro non la riporta affatto?
cioè per me la soluzione si scrive così:
$y(x) = sqrt((-x^2)/2 + 2c')$
$y(x) = -sqrt((-x^2)/2 + 2c')$
altra domanda, avendo trovato inizialmente la $F_y = 2 y$ io devo da qui vedere per quali $y$ la coordinata di un generico punto $(x_0,y_0)$ deve essere diversa da $0$ giusto?
Nel nostro caso è $2 y=\0$ quindi si ha $y=\0$ [non riesco a mettere 'diverso da'....
]
Per risolvere questo esercizio non devi necessariamente ricorrere alle equazioni differenziali, ti basta osservare che il teorema di Dini è applicabile in un certo insieme di punti e poi puoi esplicitare la y o la x (a seconda della variabile rispetto a cui vuoi applicarlo) in quell'insieme.
Per la y procedi così:
1) $F in C^1(RR^2)$
2) $F=0$ per $(x^2/4)+y^2=1$ cioè come dicevi tu un'ellisse
3) $F_y=2y ≠0$ per $y≠0$ (per il simbolo "diverso da" fai alt+uguale)
Quindi il teorema di Dini si può applicare in tutti i punti dell'ellisse in cui y non si annulla; in questi punti puoi esplicitare la funzione semplicemente con $y=√(1-x^2/4)$ in $y>0$ e $y=-√(1-x^2/4)$ in $y<0$ (in compenso, io non so fare le radici
)
Per la y procedi così:
1) $F in C^1(RR^2)$
2) $F=0$ per $(x^2/4)+y^2=1$ cioè come dicevi tu un'ellisse
3) $F_y=2y ≠0$ per $y≠0$ (per il simbolo "diverso da" fai alt+uguale)
Quindi il teorema di Dini si può applicare in tutti i punti dell'ellisse in cui y non si annulla; in questi punti puoi esplicitare la funzione semplicemente con $y=√(1-x^2/4)$ in $y>0$ e $y=-√(1-x^2/4)$ in $y<0$ (in compenso, io non so fare le radici
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