Esercizio funzioni di più variabili
Ragazzi qualcuno mi spiega il procedimento per risolvere questa tipologia di esercizi:
Sia f : R2 → R la funzione
$f(x,y)$ $=$ $(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2/3$ per $(x, y) != (0, 0)$ , $f(0, 0) = 0$
(a) Studiare la continuità di f nell’origine.
(b) Studiare l’esistenza delle derivate parziali di f nell’origine.
(c) Studiare la differenziabilità di f nell’origine.
(d) Studiare l’esistenza della derivata direzionale ∂v f nell’origine, con v = (2, 2).
La teoria l'ho studiata ma mi serve capire come applicarla . Grazie mille a tutti .
Sia f : R2 → R la funzione
$f(x,y)$ $=$ $(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2/3$ per $(x, y) != (0, 0)$ , $f(0, 0) = 0$
(a) Studiare la continuità di f nell’origine.
(b) Studiare l’esistenza delle derivate parziali di f nell’origine.
(c) Studiare la differenziabilità di f nell’origine.
(d) Studiare l’esistenza della derivata direzionale ∂v f nell’origine, con v = (2, 2).
La teoria l'ho studiata ma mi serve capire come applicarla . Grazie mille a tutti .
Risposte
a) $Lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)$
b) $Lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h$ e $Lim_(h->0)(f(0,h)-f(0,0))/h$
c)$Lim_((x,y)->(0,0))(f(x,y)-f(0,0)-(delf)/(delx)(0,0)x-(delf)/(dely)(0,0)y)/sqrt(x^2+y^2)$
d)$Lim_(t->0)(f(t/sqrt(2),t/sqrt(2))-f(0,0))/t
b) $Lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h$ e $Lim_(h->0)(f(0,h)-f(0,0))/h$
c)$Lim_((x,y)->(0,0))(f(x,y)-f(0,0)-(delf)/(delx)(0,0)x-(delf)/(dely)(0,0)y)/sqrt(x^2+y^2)$
d)$Lim_(t->0)(f(t/sqrt(2),t/sqrt(2))-f(0,0))/t
@Piggy: 61 post ed ancora non manneggi bene il MathML? Molto male.
Vedi di rimediare presto (basta un click su formule).
Vedi di rimediare presto (basta un click su formule).
Gugo hai ragione ma guarda anche quanto tempo passa tra un post e un altro. Comunque il prof ha scritto due righe su come studiare la continuità che non ho capito tantissimo , e mi piacerebbe farlo tramite qualche esempio pratico.
chi mi fa degli esempi pratici su questi tre punti che il mio prof ha scritto sulle slide :
"Ricapitolando, per gli esercizi ribadiamo che:
• per dimostrare che f è continua in un punto, è sufficiente provare che la definizione di continuità è soddisfatta, oppure che vale una disuguaglianza del tipo (7);
• per dimostrare che f non è continua in un punto, è sufficiente trovare una curva come descritto nella proposizione 5.2 per cui la composizione f(φ(t)) non ha limite, oppure due curve per le quali f(φ(t)) e f(ψ(t)) hanno limiti diversi;
• se la composizione con tutte le rette o con tutte le parabole o con tutte le curve di una certa famiglia soddisfa la condizione f(φ(t)) → f(x0) per t → 0, non si può trarre nessuna conclusione: f potrebbe essere sia continua che non continua nel punto x0. In tal caso, bisogna proseguire l’analisi, o trovando una o più curve che permettano l’applicazione del criterio di non continuità (proposizione 5.2), o dimostrando che la definizione di continuità (o una disuguaglianza tipo (7)) è soddisfatta.
la(7) è:
Sia f : D ⊆ Rn → Rm. Supponiamo che esistano C > 0, R > 0, α > 0 tali che
|f(x)−f(x0)|≤C|x−x0|^α ∀x∈D t.c. |x−x0|
la (5.2) è:
Sia f : D ⊆ Rn → Rm, x0 ∈ D.
1) Se esiste un intervallo (−a,a) ⊆ R e una curva continua
φ : (−a, a) → D tale che φ(0) = x0, e f(φ(t)) non converge a f(φ(0)) = f(x0) per t → 0, allora f non è continua in x0.
2) Se esistono due curve continue φ,ψ: (−a,a) → D tali che φ(0) = ψ(0) = x0, e lim f (φ(t)) ̸= lim f (ψ(t)),
allora f non è continua in x0. "
p.s. In questo caso non ho usato formule in quanto ho semplicemente copiato e incollato quello che ha scritto il prof ma se c'è bisogno di farlo non ci sono problemi.
chi mi fa degli esempi pratici su questi tre punti che il mio prof ha scritto sulle slide :
"Ricapitolando, per gli esercizi ribadiamo che:
• per dimostrare che f è continua in un punto, è sufficiente provare che la definizione di continuità è soddisfatta, oppure che vale una disuguaglianza del tipo (7);
• per dimostrare che f non è continua in un punto, è sufficiente trovare una curva come descritto nella proposizione 5.2 per cui la composizione f(φ(t)) non ha limite, oppure due curve per le quali f(φ(t)) e f(ψ(t)) hanno limiti diversi;
• se la composizione con tutte le rette o con tutte le parabole o con tutte le curve di una certa famiglia soddisfa la condizione f(φ(t)) → f(x0) per t → 0, non si può trarre nessuna conclusione: f potrebbe essere sia continua che non continua nel punto x0. In tal caso, bisogna proseguire l’analisi, o trovando una o più curve che permettano l’applicazione del criterio di non continuità (proposizione 5.2), o dimostrando che la definizione di continuità (o una disuguaglianza tipo (7)) è soddisfatta.
la(7) è:
Sia f : D ⊆ Rn → Rm. Supponiamo che esistano C > 0, R > 0, α > 0 tali che
|f(x)−f(x0)|≤C|x−x0|^α ∀x∈D t.c. |x−x0|
la (5.2) è:
Sia f : D ⊆ Rn → Rm, x0 ∈ D.
1) Se esiste un intervallo (−a,a) ⊆ R e una curva continua
φ : (−a, a) → D tale che φ(0) = x0, e f(φ(t)) non converge a f(φ(0)) = f(x0) per t → 0, allora f non è continua in x0.
2) Se esistono due curve continue φ,ψ: (−a,a) → D tali che φ(0) = ψ(0) = x0, e lim f (φ(t)) ̸= lim f (ψ(t)),
allora f non è continua in x0. "
p.s. In questo caso non ho usato formule in quanto ho semplicemente copiato e incollato quello che ha scritto il prof ma se c'è bisogno di farlo non ci sono problemi.
Nel punto 2 della proposizione dovrebbe esserci $lim_(t->0) f ( phi(t)) != lim_(t->0) f ( psi(t)) $.
Comunque secondo me se provi a fare qualche esercizio gli esempi saltano fuori!
Comunque secondo me se provi a fare qualche esercizio gli esempi saltano fuori!
Qualcuno Può consigliarmi qualche eserciziario che mi permetta di vedere esempi del genere illustrati, o mi può aiutare a risolvere il primo punto di questo esercizio sfruttando questi 3 punti del mio prof?
Per vedere se la funzione è cotinua nell'origine devi fare $Lim_((x,y)->(0,0))(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^(2/3)$
Passando alle coordinate polari si ha: $Lim_(rho->0^+)(rho^2(cos^2\vartheta-sin^2\vartheta)/rho^(4/3))=rho^(2/3)(cos^2\vartheta-sin^2\vartheta)$
$0<=|rho^(2/3)(cos^2\vartheta-sin^2\vartheta)|<=|rho^(2/3)|(cos^2\vartheta+sin^2\vartheta)<=|rho^(2/3)|(1+1)->0$. Quindi è continua nell'origine.
Passando alle coordinate polari si ha: $Lim_(rho->0^+)(rho^2(cos^2\vartheta-sin^2\vartheta)/rho^(4/3))=rho^(2/3)(cos^2\vartheta-sin^2\vartheta)$
$0<=|rho^(2/3)(cos^2\vartheta-sin^2\vartheta)|<=|rho^(2/3)|(cos^2\vartheta+sin^2\vartheta)<=|rho^(2/3)|(1+1)->0$. Quindi è continua nell'origine.
OK Mirino, capisco il passaggio a coordinate polari ma non capisco il perchè di queste disuguaglianze ... c'è per caso una regola che mi sfugge ?? Detto questo il prof ci ha consigliato anche di usare la tecnica della maggiorazione basata sul teorema del confronto o dei carabinieri , ma come si usa??
ti illustro come ha risolto il prof il punto a, e vorrei capire come ha fatto sinceramente! il link dell'immagine è questo:
http://imageshack.us/f/163/schermata20110508a01340.png/[/
ti illustro come ha risolto il prof il punto a, e vorrei capire come ha fatto sinceramente! il link dell'immagine è questo:
http://imageshack.us/f/163/schermata20110508a01340.png/[/
Perché quando passi alle coordinate polari, il risultato del limite deve essere indipendente da $\vartheta$.
Il prof. ha usato le maggiorazioni. Ti consiglio di leggerti cosa dice il teorema dei carabinieri.
Il prof. ha usato le maggiorazioni. Ti consiglio di leggerti cosa dice il teorema dei carabinieri.
Il teorema lo conosco ma non ho trovato nulla sulle maggiorazioni e su come si usa questo teorema nella pratica. Mica qualcuno potrebbe linkarmi qualcosa a riguardo in modo tale da imparare ad usare le maggiorazioni o qualche esercizio che spieghi e illustri la sua applicazione??
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